4.5利用相似三角形测高

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6利用相似三角形测高新知梳理►知识点一利用阳光下的影子来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[明确]太阳光可近似看做平行光.[步骤](1)构造相似三角形,如图4-6-3所示.6利用相似三角形测高(2)测量数据:AB(身高),BC(人影长),BE(旗杆影长);待求数据:DE(旗杆高).(3)计算理由:因为AC∥DB(平行光),所以∠ACB=∠DBE.因为∠ABC=∠DEB=90°(直立即为垂直),所以△ABC∽△DEB,有ABDE=BCBE,DE=AB·BEBC.►知识点二利用标杆来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[步骤](1)构造相似三角形,如图4-6-4所示.6利用相似三角形测高(2)测量数据:AB(人眼距地面的高度),CD(标杆高),BD(人距标杆的距离),DF(标杆距旗杆的距离);待测数据:EF(旗杆高度).(3)计算理由:因为CD∥EF(均与水平面垂直),所以∠AGC=∠AHE,∠ACG=∠AEH.所以△AGC∽△AHE,所以AGAH=CGEH.又AG=BD,GC=CD-AB,AH=AG+GH,求出EH.所以EF=EH+HF=EH+AB.►知识点三利用镜子反射来测量旗杆高度6利用相似三角形测高[明确]平面镜反射原理:入射角等于反射角.[步骤](1)构造相似三角形,如图4-6-5所示.(2)测量数据:AB(人眼距地面的高度),BE(人距镜子的距离),ED(镜子距旗杆的距离);待测数据:CD(旗杆高度).(3)计算理由:∠ABE=∠CDE=90°(垂直地面),∠AEB=∠CED(光的反射原理),所以△ABE∽△CDE,有ABCD=BEDE,CD=AB·DEBE.6利用相似三角形测高重难互动探究探究问题一利用影长测物高6利用相似三角形测高例1某同学的身高为1.66m,测得他在地面上的影长为2.49m,如果这时测得操场上旗杆的影长为42.3m,那么该旗杆的高度是多少米?[解析]同一时刻的光线应是平行的,人和旗杆都与地面垂直,因此可以通过相似三角形求出旗杆的高度.解:如图4-6-6所示,用AC表示人的身高,BC表示人的影长,A′C′表示旗杆的高度,B′C′表示旗杆的影长,由题意得AC=1.66m,BC=2.49m,B′C′=42.3m,设A′C′=x.由△ABC∽△A′B′C′,∴ACA′C′=BCB′C′,即1.66x=2.4942.3,解得x=28.2.所以该旗杆的高度是28.2m.6利用相似三角形测高6利用相似三角形测高[归纳总结]同一时刻,对于都垂直于地面的两个物体来说,它们的影长之比等于它们的高度之比.6利用相似三角形测高探究问题二利用标杆测物高例2如图4-6-7所示,王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度,他们选王刚作为观测者,并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2m的标杆CD,然后,王刚开始调整自己的位置,当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时,就在该位置停止不动,这时其他同学通过测量,发现王刚的脚离标杆底部的距离为1m,离大树底部的距离为9m,王刚的眼睛离地面的高度为1.5m,那么大树EF的高为多少?6利用相似三角形测高解:如图4-6-7所示,作AH⊥EF,垂足为H,交CD于点G,由题意得AB⊥BF,CD⊥BF,EF⊥BF,故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形,所以AB=GD=HF,BF=AH,BD=AG,CD∥EF,所以∠AGC=∠AHE=90°.又因为∠CAG=∠EAH,所以△ACG∽△AEH,所以AGAH=CGEH,即19=2-1.5EH,所以EH=4.5,EH+HF=4.5+1.5=6(m).所以大树EF的高为6m.6利用相似三角形测高6利用相似三角形测高[归纳总结]解决这类问题,先把实际问题转化为数学问题,找出两个相似的三角形,利用相似三角形的对应边成比例列出比例式,求出某条线段的长度,进而再求所要求的物体的高度.6利用相似三角形测高探究问题三利用镜子的反射测物高例3小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图4-6-8所示,在水平地面上E处放一面平面镜,其与教学大楼的距离EA=21米,当她与镜子的距离CE=2.5米时,刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B,已知她眼睛距地面的高度DC=1.6米.请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米?6利用相似三角形测高[解析]根据入射角等于反射角,先说明Rt△ABE∽Rt△CDE,再根据已知数据求出AB.解:由题意可知∠BEF=∠DEF,∠AEF=∠CEF,所以∠BEA=∠DEC.AB⊥ACCD⊥AC⇒∠BAE=∠DCE=90°∠BEA=∠DEC⇒△BAE∽△DCE⇒AEAB=CEDCAE=21,CE=2.5,DC=1.6⇒AB=13.44(米).所以教学大楼的高度AB是13.44米.

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