4.5相似三角形判定定理的证明

﹡第5节相似三角形判定定理的证明九年级数学(上)第四章图形的相似两角对应相等，两三角形相似.三边对应成比例,两三角形相似.相似三角形的判定方法:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.回顾与复习在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．全等判定：(对应)边角(6组量)判定方法角边角角角边边边边边角边三角分别相等,三边成比例1.两角分别相等3.两边成比例且夹角相等2.三边成比例4.两边成比例且其中一边的对角相等回顾与复习ABCDEEDCBA相似三角形的常见类型“A”型“x”型ABCDEABC(E)D“共角”型“共角共边”型“蝴蝶”型已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC∽△A'B'C'．定理两角分别相等的两个三角形相似.证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠1=∠B，∠2=∠C，ACAEABAD过点D作AC的平行线，交BC于点F，则CBCFABAD∴CBCFACAE∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形．∴DE=CF.∴CBDEACAE∴BCDEACAEABAD而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'，∴△ADE≌△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'.CAB1A′B′C′DEF2定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，''''CAACBAAB求证：△ABC∽△A'B'C'.证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠1，∠C=∠2，∴△ABC∽△ADE∴AEACADAB∵''''CAACBAAB，AD=A'B'，∴''CAACADAB∴''CAACAEAC∴AE=A'C'.而∠A=∠A'，∴△ADE≌△A'B'C'.△ABC∽△A'B'C'.CABA′B′C′DE12定理三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，''''''CAACCBBCBAAB求证：△ABC∽△A'B'C'.证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE.∵''''CAACBAAB，AD=A'B'，AE=A'C'，∴AEACADAB而∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE.∴DEBCADAB又''''CBBCBAAB，AD=A'B'，∴''CBBCADAB∴''CBBCDEBC∴DE=B'C'.∴△ADE≌△A'B'C'.∴△ABC∽△A'B'C'.CABA′B′C′DE解：∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,∴△ABD∽△ACB,∴AB:AC=AD:AB,∴AB2=AD·AC.∵AD=2,AC=8,∴AB=4.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2,AC=8，求AB.应用1.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长.172BCACACAD，25.4又∠B=∠ACD，△ABC∽△DCA，AD=应用解:∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，ACBCCDAB例2:若:，试说明:（1）∠ABC＝∠CDB（2）AC·BD=BC·ABCBCDACBC证明（1）∵CBCDACBC∠ACB＝∠BCD∴△ABC∽△BDC(两边分别对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)∴∠ABC＝∠CDB（2）∵△ABC∽△BDCBDABBCAC∴AC·BD=BC·AB两角对应相等，两三角形相似.三边对应成比例,两三角形相似.相似三角形的判定方法:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.课堂小结有一池塘,周围都是空地.如果要测量池塘两端A、B间的距离,你能利用本节所学的知识解决这个问题吗?••AB•••DEC••••CED••BA知识技能1．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论．知识技能2．已知：如图，BCAEABDEACAD．求证：AB=AE.知识技能3．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE=AB．求证：AE2=AD·AC．问题解决4．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s．如果P，Q两动点同时运动，那么何时△PBQ与△ABC相似？下课了!