二项式定理的发现与推广

二项式定理的发现与推广倪致祥科学发现系列讲座二项式定理的发现通过探索,13世纪阿拉伯人已经知道两项和的n次方的展开结果:222332234432234555322345()2()33()464()510105abaabbabaababbabaabababbabaababababb二项式定理的发现为了便于看出规律，我们把它补充完整:01222332234432234555322345()1()()2()33()464()510105ababababaabbabaababbabaabababbabaababababb二项式定理的发现为了便于研究其中的规律,1544年Stifel把公式中字母的系数提取出来,称为二项式系数.他发现其中每个数是其上方紧邻两数之和.用公式表示为:1111211331146411510105111kkknnnCCC这个结果，中国数学家杨辉早在13世纪就发现了。二项式定理的发现通过进一步研究，1654年Pascal发现二项式系数的规律,即通项公式:11112113311464115101051!!()!(1)(2)(1)123knnFknknnnnkk1713年,Bernoulli对上面的公式给出了证明。二项式定理的推广1上面得到的结果只适用于指数为自然数的情况，能否把二项式定理推广到非自然数的情况呢?1665年，牛顿对此进行了研究。他考虑了已知的无穷递缩等比数列的求和公式：2(1)(1)(1)(1)12!nknnnnnkxnxxxk12(1)1(1)kkxxxx为了便于比较，我们把二项式定理改写为：二项式定理的推广1经过仔细比较，不难发现上式中取n=-1时，自动成为无穷递缩等比数列求和公式。这说明二项式定理的新形式在n=-1时也成立。这个结果有没有一般性？牛顿大胆的猜想：二项式定理的新形式对于任意有理指数都是正确的，即：200(1)(1)(1)(1)12!()(1)(1)!!kkknkkkxxxxkkxxRkk二项式定理的推广1这个猜想是否正确？牛顿对此进行了验证。当指数为1/2时，有：1/2234511128161281/21/223111111122481628(1)1(1)(1)1()(2)(22)1xxxxxxxxxxx验证的结果与猜想一致。牛顿还对指数为1/3、2/3等情况进行了验证，结果也与猜想一致。二项式定理的推广1然而，仅仅凭着有限的验证能够保证结论的普遍正确性吗？还要不要严格的证明？牛顿认为这已经足够了，不需要进一步证明，他也没有给出证明。1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。现在，人们已经把二项式定理推广到了指数为任意的实数，甚至复数时的情况。二项式定理的推广2二项式定理给出了两项和的n次幂的展开公式，有时我们也需要计算三项或多项和的n次幂，这时该怎么办？最容易想到的办法是多次应用二项式定理，即先把后几项合并成一项，应用二项式定理，再对式子中出现的后几项的幂进行类似处理。例如，对于三项和的n次幂，可以如下计算00000!()[()]()!()!!!!!()!!()!!()!()!nnnnkkknknknkkllnkkllklklnabcabcabcknknknabcabcknklkllklnk二项式定理的推广2具体写出来是01222233222232234()1()()222()3336333()abcabcabcabcaabacbbccabcaabacababcacbbcbccabc二项式定理的推广2为了保持展开后的对称性，我们把展开式写成012223()1()()222abcabcabcabcaabbacbcc33223222224()3336333()abcaababbacabcbcacbccabc二项式定理的推广2把公式中字母的系数提取出来经过仔细观察，我们发现上一三角形可以摞在下一三角形的上方，构成一个正四面体。四面体中的每一个数等于其肩上三个数之和。11111111211333631331144612641212414641二项式定理的推广2同样的方法，我们可以得到四项和的n次幂的计算公式0000000!()[()]()!()!!!!()!!()!()!!!()!()!()!nnnnkkknklnkkllmmklnnklnkkllmmklmnabcdabcdabcdknknkabcdknkmlmklnabcdmlmklnk二项式定理的推广2为了看出多项和n次幂的计算公式的一般规律，我们把前面得到的结果列在一起：000000()!()!()!!()!()!()!!()!()!()!()!nnnnnkkknknnkkllklnklnnkkllmmklmaanababknknabcabclklnknabcdabcdmlmklnk二项式定理的推广2通过认真观察，我们不难发现以下规律：1）展开式中各个字母的指数和为n；1）系数的分子都是n！，分母为指数阶乘之积；3）求和条件为各指数均非负，且和为n于是，我们可以把这些展开式统一表达为!()!iikniikninxxk二项式定理的推广3上面得到的就是多项式定理，你能把它推广到负指数和分数指数的情况吗？大胆的试试看，你的创造力会得到激发和锻炼。