高考数学一轮复习-5.6数列的综合问题练习-理

第六节数列的综合问题基础回顾一、等差、等比数列的一些重要结论1．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.2．等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.3．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m，…仍为等差数列．4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m，…仍为等比数列(m为偶数且公比为－1的情况除外)．5．两个等差数列{an}与{bn}的和、差构成的数列{an＋bn}，{an－bn}仍为等差数列．6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数构成的数列{an·bn}，anbn，1bn仍为等比数列．7．等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列．8．等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列．9．若{an}为等差数列，则{}can(c0)是等比数列．10．若{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn}(c0且c≠1)是等差数列．二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：a－d，a，a＋d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.三个数成等比的设法：aq，a，aq；四个数成等比的设法：aq3，aq，aq，aq3(因为其公比为q20，对于公比为负的情况不能包括)．三、用函数的观点理解等差数列、等比数列1．对于等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点；当d＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列；当d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；当d＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列．若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．2．对于等比数列an＝a1qn－1，可用指数函数的性质来理解．当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}是单调递增数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是单调递减数列；当q＝1时，是一个常数列；当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．四、数列应用的常见模型1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差．2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比．3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．基础自测1．(2014·重庆卷)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(D)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：依题意得a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，故选D.2．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列三个命题：①若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，则数列{an}是等差数列；③若Sn＝1－(－1)n，则数列{an}是等比数列．这些命题中，真命题的个数是(D)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①不妨设数列{an}的前三项为a－d，a，a＋d，则其又成等比数列，故a2＝a2－d2，∴d＝0，即an＝an＋1，为真命题．②由Sn的公式，可求出an＝(2n－1)a＋b，故{an}是等差数列，为真命题．③由Sn可求出an＝2×(－1)n－1，故数列{an}是等比数列，为真命题．故选D.3．在数列{}an和{}bn中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2且对任意n∈N*都有3an＋1－an＝0，则数列{}bn的通项公式为bn＝4·3－n(n∈N*)．4．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过45分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．解析：依题意可知：a0＝2，a1＝22，a2＝23，…，an＝2n＋1，64MB＝64×210＝216KB，令2n＋1＝216，得n＝15.∴开机后45分钟该病毒占据64MB内存．高考方向1.数列的综合主要考查：（1）等差数列和等比数列的求和.（2）使用裂项相消法、错位相减法的求和.（3）根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和.2.数列求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.,3.以解答题为主，难度中等或稍难.品味高考1．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(C)A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmn解析：∵bn＝am(n－1)(q＋q2＋…＋qm)∴bn＋1bn＝amn（q＋q2＋…＋qm）am（n－1）（q＋q2＋…＋qm）＝amnam（n－1）＝qm(常数)．而bn＋1－bn不是常数．又∵cn＝(am(n－1))mq1＋2＋…＋m＝am（n－1）qm＋12m，∴cn＋1cn＝amnam（n－1）m＝(qm)m＝qm2(常数)．而cn＋1－cn不是常数．故选C.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2.(1)证明：{}an＋1是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an＜34.证明：(1)由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)．又a1＋1＝3，∴{}an＋1是首项为3，公比为3的等比数列．an＋1＝3n，因此{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)．(2)由(1)知1an＝13n－1，∵当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，∴13n－1≤12×3n－1.∴1a1＋1a2＋…＋1an≤12(1＋13＋…＋13n－1)＝34(1－13n)＜34.∴1a1＋1a2＋…＋1an＜34.高考测验1．已知等差数列{an}的首项为10，公差为2，等比数列{bn}的首项为1，公比为2，n∈N*.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设第n个正方形的边长为Cn＝min{an，bn}，求前n个正方形的面积之和Sn.(注：min{a，b}表示a与b的最小值)解析：(1)因为等差数列{an}的首项为10，公差为2，所以an＝10＋(n－1)×2，即an＝2n＋8(n∈N*)．因为等比数列{bn}的首项为1，公比为2，所以bn＝1×2n－1，即bn＝2n－1(n∈N*)．(2)因为a1＝10，a2＝12，a3＝14，a4＝16，a5＝18，a6＝20，b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，b5＝16，b6＝32.易知当n≤5时，an＞bn.下面证明当n≥6时，不等式bn＞an成立．①当n＝6时，b6＝26－1＝32＞20＝2×6＋8＝a6，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥6)时，不等式成立，即2k－1＞2k＋8.则有2k＝2×2k－1＞2(2k＋8)＝2(k＋1)＋8＋(2k＋6)＞2(k＋1)＋8.这说明当n＝k＋1时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对n≥6的所有整数都成立．所以当n≥6时，bn＞an.所以cn＝min{an，bn}＝2n－1，n≤5，2n＋8，n＞5.则c2n＝22n－2，n≤5，4（n＋4）2，n＞5.当n≤5时，Sn＝c21＋c22＋c23＋…＋c2n＝b21＋b22＋b23＋…＋b2n＝20＋22＋24＋…＋22n－2＝1－4n1－4＝13(4n－1)．当n＞5时，Sn＝c21＋c22＋c23＋…＋c2n＝(b21＋b22＋…＋b25)＋(a26＋a27＋…＋a2n)＝13(45－1)＋4[(6＋4)2＋(7＋4)2＋…＋(n＋4)2]＝341＋4[(62＋72＋…＋n2)＋8(6＋7＋…＋n)＋16(n－5)]＝341＋4[(12＋22＋…＋n2)－(12＋22＋…＋52)]＋32(6＋7＋…＋n)＋64(n－5)＝341＋4[n（n＋1）（2n＋1）6－55]＋32×（6＋n）（n－5）2＋64(n－5)＝43n3＋18n2＋2423n－679.综上可知，Sn＝13（4n－1），n≤5，43n3＋18n2＋2423n－679，n＞5.2．(2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解析：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N*)或an＝4n－2(n∈N*)．(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋（4n－2）]2＝2n2.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.课时作业1．一凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角100°，则边数n为(A)A．8B．9C．8或9D．7解析：由凸边形性质得凸边形内角和为180°×(n－2)，由题知180°(n－2)＝[100°＋（n－1）×10°＋100°]n2，解得n＝8(另一根舍)，故选A.2．已知数列{}an中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，…，则a10＝(C)A．610B．510C．505D．7503．已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a1＋a5＋a9a2＋a3＝(B)A．2B．3C．5D．6解析：∵a2，a4，a8成等比数列，∴a24＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴a1＝d，∴a1＋a5＋a9a2＋a3＝3a1＋12d2a1＋3d＝3.故选B.4．定义：F(x，y)＝yx(x＞0，y＞0)，已知数列{an}满足：an＝F（n，2）F（2，n）(n∈N*)，若对任意正整数n，都有an≥ak(k∈N*)成立，则ak的值为(C)A.12B．2C.89D.98解析：依题意an＝2nn2，ak为an的最小值，显然a1＞a2＞a3，当n＞3时，a3＜a4＜a5＜…，∴最小值ak＝a3＝89.故选C.5．已知数列{an}为等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＋a6＋a11＝4π，则sin(S11)的值为(D)A．－32B．±32C.12D.32解析：因为等差数列中，a1＋a6＋a11＝4π，所以a6＝4π3，所以S11＝11（a1＋a11）2＝11×2a62＝44π3，所以sin(S11)＝sin44π3＝sin14π＋2π3＝sin2π3＝32.故选D.6．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列1f（n）(n∈N*)的前n项和是(A)A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋