中考数学反比例函数复习讲义新人教版

第13讲反比例函数考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一反比例函数的定义一般地，函数y＝kx或y＝(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．1．反比例函数y＝kx中的kx是一个分式，所以自变量x0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.kx－1≠考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴.2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．(1)k＞0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在第一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而(或y随x的减小而增大)．双曲线相交减小(2)k＜0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在第象限，如图②所示．图象自左向右是上升的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)．二、四考点三反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤：(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数．考点四反比例函数图象中比例系数k的几何意义反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为.理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|；∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝12|xy|＝12|k|.|k|温馨提示：根据图象说出性质、根据性质大致画出图象及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握.考点五反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的_________.取值范围(1)(2011·福州)如图所示，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()A．y＝x2B．y＝4xC．y＝－3xD．y＝12x(2)(2011·温州)已知点P(－1,4)在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则k的值是()A．－14B.14C．4D．－4(3)(2010·兰州)已知点(－1，y1)、(2，y2)、(3，y3)在反比例函数y＝－k2－1x的图象上．下列结论中正确的是()A．y1y2y3B．y1y3y2C．y3y1y2D．y2y3y1(4)(2011·陕西)如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－4x和y＝2x的图象交于点A和点B.若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．6【点拨】本组题主要考查反比例函数的图象和性质，解决此类问题时，往往用数形结合的思想方法在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用．这是因为“形”能直观地启迪“数”的计算，“数”能准确地澄清“形”的模糊．【解答】(1)B双曲线是反比例函数y＝kx(k≠0)的图象，当k＞0时，双曲线位于第一、三象限内；当k＜0时，双曲线位于第二、四象限内．(2)D当x＝－1时，y＝4，∴k＝xy＝－1×4＝－4.(3)B∵－k2－10，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y10.∵23，∴y2y30，∴y1y3y2.(4)A设OP＝a(a＞0)，则点A的横坐标是－4a，点B的横坐标是2a，∴AB＝2a－(－4a)＝6a.∴S△ABC＝12AB·OP＝12×6a×a＝3.(2011·成都)如图所示，已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(12，8)，直线y＝－x＋b经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP、OQ，求△OPQ的面积．【点拨】注意转化思想的运用，将求△OPQ的面积转化为求底边在坐标轴上的△OAP与△OAQ的面积之差；而求直线与坐标轴围成的三角形面积时，一般需将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横(纵)坐标的绝对值作为高．【解答】(1)∵反比例函数y=kx的图象经过点(12，8),∴8=k12,即k=8×12=4.∴反比例函数的表达式为y＝4x.∵点Q(4，m)在反比例函数的图象上，∴m＝44＝1，即Q(4,1)．由题意，直线y＝－x＋b经过点Q(4,1)，∴1＝－4＋b，即b＝5.∴直线的函数表达式为y＝－x＋5.(2)由y＝4xy＝－x＋5消去y，得x2－5x＋4＝0，即(x－1)(x－4)＝0，∴x1＝1，x2＝4.∴y1＝4，y2＝1.即x1＝1，y1＝4，x2＝4，y2＝1.∴点P的坐标为(1,4)．由直线y＝－x＋5与x轴相交于A点，得A点坐标为(5,0)．∴S△OPQ＝S△OAP－S△OAQ＝12|OA|·|yp|－12|OA|·|yQ|＝12×5×4－12×5×1＝152.方法总结：解一次函数与反比例函数综合性试题时,要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系”的策略,这样可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.(2011重庆綦江10分)如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y=mx的图象的交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积.解:（1）将B(－2，－4）代入y＝mx，解得m＝8∴反比例函数的解析式为y＝8x.又∵点A在y＝8x图象上，∴a＝2即点A坐标为(4，2)将A(4，2)；B(－2，－4）代入y＝kx＋b得2＝4k+b－4＝－2k＋b解得k＝1b＝－2∴一次函数的解析式为y＝x－21．若反比例函数y＝kx的图象经过点(－3,2)，则k的值为()A．－6B．6C．－5D．52．已知反比例函数y＝1x，下列结论不正确．．．的是()A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限C．当x1时，0y1D．当x0时，y随着x的增大而增大答案：A答案：D3．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝3x(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会()A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小4．反比例函数y＝k－1x的图象在每条曲线上，y随x的增大而减小，则k的值可为()A．－1B．0C．1D．2答案：C答案：D5．如图，已知双曲线y＝kx(k0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为()A．12B．9C．6D．4答案：B6．若A(x1，y1)、B(x2，y2)是双曲线y＝3x上的两点，且x1＞x2＞0，则y1_______y2(填“＞”“＝”“＜”)．＜7.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝kx的图象的一个交点为A(－1，n)．(1)求反比例函数y＝kx的解析式；(2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．答案：(1)y＝－2x(2)P(－2,0)或P(0,4)反比例函数训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共44分)1．(2011·扬州)某反比例函数图象经过点(－1,6)，则下列各点中此函数图象也经过的点是()A．(－3,2)B．(3,2)C．(2,3)D．(6,1)【答案】A【解析】设反比例函数解析式为y＝kx，则k＝－1×6＝－6，故只有A项符合题意．2．(2010中考变式题)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是()A．第一象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第一、四象限【答案】C【解析】由题意得y＝－5x，所以图象在第二、四象限．3．(2011·广州)下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是()A．y＝x2B．y＝x－1C．y＝34xD．y＝1x【解析】当x＞0时，函数y＝x2，y＝x－1，y＝34x的y值随x值的增大而增大，只有y＝1x的y值随x值的增大而减小．【答案】D4．(2011·新疆)如图所示，l1是反比例函数y＝kx在第一象限内的图象，且经过点A(1,2)，l1关于x轴对称的图象为l2，那么l2的函数表达式为()A．y＝2x(x＜0)B．y＝2x(x＞0)C．y＝－2x(x＜0)D．y＝－2x(x＞0)【解析】将点A(1,2)代入y＝kx，得k＝2，∴l1的函数解析式为y＝2x(x＞0)．又∵l1与l2关于x轴对称，∴将(x，－y)代入y＝2x得l2的解析式为－y＝2x，∴y＝－2x(x＞0)．【答案】D5．(2010中考变式题)反比例函数y＝6x图象上有三个点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，其中x1x20x3，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y3y2y1【解析】∵y＝6x，∴k＝60，∴图象在每个象限内y随x的增大而减小．∵x1x2＜0，x3＞0，∴y1y2，∴y2y1＜0y3.【答案】B6．(2012中考预测题)函数y＝ax－a与y＝ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是()【解析】当a0时，y＝ax的分支在第二、四象限，y＝ax－a经过第一、二、四象限．【答案】DA．－7B．7C．－5D．5【解析】当x＝2时，y＝3，∴k＋1＝xy＝6，∴k＝6－1＝5.【答案】D7．(2011·海南)已知点A(2,3)在反比例函数y＝k＋1x的图象上，则k的值是()8．(2012中考预测题)如图所示，是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝2x的图象，则关于x的方程kx＋b＝2x的解为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝－2，x2＝－1C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝2，x2＝1【解析】y＝kx＋b与y＝2x图象的交点横坐标即为kx＋b＝2x的解，由图象可得x1＝1，x2＝－2.【答案】C9．(2011·青岛)已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是()A．x＜－1或0＜x＜3B．－1＜x＜0或x＞3C．－1＜x＜0D．x＞3【解析】当y1＜y2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，对应的x的取值范围是－1＜x＜0或x＞3.【答案】B10．(2010中考变式题)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝－8x与一次函数y＝－x＋2交于A、B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．2B．6C．10D．8【解析】由y＝－8xy＝x＋2得A(－2,4)、B(4，－2)可求得S△AOB＝6.【答案】B11．(2012中考预测题)反比例函数y＝kx的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为()A．2B．－2C．4D．－4【答案】D【解析】反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积为|k|，故12|k|＝2，∴|k|＝4.由图象可知k0，∴k＝－4.二、填空题(每小题4分，共20分)12．(2011·上海)如果反比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数的解析式是________．【解析】把(－1,2)代入y＝kx得2＝k－1.【答案】y＝－2x13．(2011·南充)过反比例函数y＝kx(k≠0)图象上一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，如果△ABC的面积为3，那么k的值为__