matlab实现Newton法-割线法-抛物线法

（一）实验目的：熟悉和掌握Newton法,割线法,抛物线法的方法思路，并能够在matlab上编程实现（二）问题描述：问题一.方程求根(1).给定一个三次方程,分别用Newton法,割线法,抛物线法求解.方程的构造方法:(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.假设你的学号为B06060141,则根为141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是B06060141,则你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根为0.564,因此有0.5643+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程为x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).(4)将（2）中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解（三）算法介绍在本文题中，我们用到了newton法，割线法，抛物线法。1.Newton法迭代格式为：xk+1=xk−f(xk)f′(xk+1)当初值x0与真解足够靠近，newton迭代法收敛，对于单根，newton收敛速度很快，对于重根，收敛较慢。2.割线法：为了回避导数值f′(xk)的计算，使用xk，xk−1上的差商代替f′(xk)，得到割线法迭代公式：xk+1=xk−xk−xk−1f(xk)−f(xk−1)f(xk)割线法的收敛阶虽然低于newton法，但迭代以此只需计算一次f(xk)函数值，不需计算其导数，所以效率高，实际问题中经常应用。3.抛物线法：可以通过三点做一条抛物线，产生迭代序列的方法称为抛物线法。其迭代公式为：xk+1=xk−2f(xk)ωk+sgn(ωk)√ωk2−4f(xk)f[xk,xk−1,xk−2]其中ωk=f[xk,xk−1]+(xk−xk−1)f[xk,xk−1,xk−2]收敛速度比割线法更接近于newton法。对于本问题的解决就以上述理论为依据。终止准则为：|pn−pn−1|𝜀本题中所有ε取1e-6。（四）程序注：n表示迭代步数。第一题（1）首先根据题目要求对方程进行构造，得到的方程为：y=x3+2x−0.205061208。Newton法求解算法建立newton1.m源程序，源程序代码为：functionx=newton1(fn,dfn,x0,e)ifnargin4,e=1e-4;endx=x0;x0=x+2*e;whileabs(x0-x)ex0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在matlab软件中执行下列语句并得到最终结果截图clearfun=inline('x^3+2*x-0.205061208');dfun=inline('3*x^2+2');formatlong;newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),formatshort并得到最终结果n=4ans=0.10200000000000割线法求解算法建立gexianfa.m源程序，源程序代码为：functionx=gexian(f,x0,x1,e)ifnargin4,e=1e-4;endy=x0;x=x1;whileabs(x-y)ez=x-(feval(f,x)*(x-y))/(feval(f,x)-feval(f,y));y=x;x=z;end在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('x^3+2*x-0.205061208');gexianfa(fun,0,1,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=5ans=0.1020抛物线法求解算法建立paowuxian.m源程序，源程序代码为：functionx=pawuxian(f,x0,x1,x2,e)ifnargin4,e=1e-4;endx=x2;y=x1;z=x0;whileabs(x-y)eh1=y-z;h2=x-y;c1=(feval(f,y)-feval(f,z))/h1;c2=(feval(f,x)-feval(f,y))/h2;d=(c1-c2)/(h2+h1);w=c2+h2*d;xi=x-(2*feval(f,x))/(w+(w/abs(w))*sqrt(w^2-4*feval(f,x)*d));z=y;y=x;x=xi;end在matlab软件中执行下列语句fun=inline('x^3+2*x-0.205061208');paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),formatshort并得到最终结果n=7ans=0.1020第一题（2）根据要求，待求解的方程应为：y=sinx+2x−0.205061208。仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，将newton法初值设为：0.2，割线法初值设为：0,0.2。抛物线法初值设为：0,0.1,0.2。图像见下图：Newton法求解：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('sin(x)+2*x-0.205061208');dfun=inline('cos(x)+2');formatlong;newton1(fun,dfun,0.2,1e-6),formatshort并得到最终结果n=3ans=0.06837148815510割线法求解：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('sin(x)+2*x-0.205061208');gexianfa(fun,0,0.2,1e-6),formatshort并得到最终结果截图n=3ans=0.0684抛物线法求解在matlab软件中执行下列语句并得到最终结果截图clearfun=inline('sin(x)+2*x-0.205061208');paowuxian(fun,0,0.1,0.2,1e-6),formatshort并得到最终结果n=3ans=0.0684问题一（3）按照题目要求对五次方程进行构造为：y=(x3+2x−0.205061208)∗(x−0.102)2仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，将newton法初值设为：在此处我们选取了两组初值为0以及0.5，割线法初值设为：-1,1。抛物线法初值设为：两组初值为-1,0,1以及0,0.5,1。Newton法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(x^3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)^2');dfun=diff('(x^3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)^2')dfun=(3*x^2+2)*(x-.102)^2+2*(x^3+2*x-.205061208)*(x-.102)dfun=inline('(3*x^2+2)*(x-.102)^2+2*(x^3+2*x-.205061208)*(x-.102)');formatlong;newton1(fun,dfun,0,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=27ans=0.10199821300764newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),formatshortn=31ans=0.1020割线法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(x^3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)^2');gexianfa(fun,-1,1,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=41ans=0.1020抛物线法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(x^3+2*x-0.205061208)*(x-0.102)^2');paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),formatshort并得到最终结果截图：n=57ans=0.1020问题一（4）按照题目要求对方程进行构造仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像，可知存在重根，故将newton法初值设为：两组初值为0以及0.5，割线法初值设为：两组初值为0,0.1以及-0.1,0.1。抛物线法初值设为：两组初值为-1,0,1以及0,0.5,1。绘图语句为：fun=inline('(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102)');fplot(fun,[-1,1])Newton法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102)');fplot(fun,[-1,1]);dfun=diff('(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102)')dfun=(cos(x)+2)*(x-.102)+sin(x)+2*x-.205061208dfun=inline('(cos(x)+2)*(x-.102)+sin(x)+2*x-.205061208');formatlong;newton1(fun,dfun,0,1e-6),formatshort并得到最终截图：n=6ans=0.06837148815484newton1(fun,dfun,0.5,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=8ans=0.1020割线法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102)');gexianfa(fun,0,1,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=10ans=0.0684gexianfa(fun,0,0.1,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=5ans=0.1020抛物线法：在matlab软件中执行下列语句clearfun=inline('(sin(x)+2*x-0.205061208)*(x-0.102)');paowuxian(fun,-0.1,0,0.05,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=8ans=0.0684paowuxian(fun,0,0.5,1,1e-6),formatshort并得到最终结果：n=15ans=0.1020（五）计算结果Newton法割线法抛物线法问题一（1）0.1020.1020.102问题一（2）0.0683714881555100.06840.0684问题一（3）0.1020.1020.102问题一（4）0.102和0.0681488154840.102和0.06840.102和0.0684（1）迭代步数（2）迭代步数（3）迭代步数（4）迭代步数Newton法43316,8割线法534110,5抛物线法73578，15（六）结果分析将Newton法，割线法，抛物线法进行比较可以看到在本文题中，三种方法计算得到的最终结果基本相同，但是迭代步数有较大差别，综合看来Newton法迭代步数最少，割线法次之，抛物线法最次。这与算法设计中所说Newton法收敛最快，割线法次之，抛物线法最次很好的贴合。对每个算法单独来看，显然选择初值不同对于迭代步数影响较大，对于找到根也会有影响。因此应该先通过画图确定根的大致位置，给出在其附近的初值。（七）心得体会在实现这三个算法的过程中，本身编程较易实现，最重要的是对算法本身的理解，只有真正理解算法的含义才能更快更好的实现程序。