用牛顿法求解非线性方程

实验七非线性方程求根一、实验目标1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.二、实验问题求代数方程053)(3xxxf的实根.三、实验要求1．方程有一个实根：2.279022215215333*x.将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算*x:(a)253xxx,(b)353xx,(c)353xx,(d)352xx(e)xx53,(f)1533123xxxxx.2.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计6110,toltolxxkk来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.3.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.4.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.5.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.数值分析实验指导第1页附录一：《数值分析》实验报告（模板）【实验课题】用牛顿迭代法求非线性方程根【实验目标】明确实验目标1.掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与Newton法）及加速技术（Aitken加速与Steffsen加速）.2.会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.3探索不同方式改写方程的收敛程度【理论概述与算法描述】1.牛顿法设已知方程f(x)=0有近似根xk,将函数f(x)在点xk展开，有f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk),于是方程可表示为f(xk)+f’(xk)(x-xk)=0,这是个线性方程，记其根为x(k+1),则x(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk),这就是牛顿迭代法求根.2.埃特金加速收敛方法设0x是根*x的某个近似值，用迭代一次得10()xx，而由微分中值定理，有**'*100()()()()xxxxxx其中介于*x和0x之间。假设'()x改变不大，近似地取某个近似值L，则有**10()xxLxx若将校正值10()xx再迭代一次，又得21()xx由于**21()xxLxx将它与前面的式子联立，消去未知的L，有**01**21xxxxxxxx由此推知22*021100210210()22xxxxxxxxxxxxx，记数值分析实验指导第2页21112()kkkkkkkxxxxxxx称为埃特金加速方法。3.斯特芬森迭代法将埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法21(),()()2kkkkkkkkkkkyxzyyxxxzyx即为斯特芬森迭代法【实验问题】1.求代数方程053)(3xxxf的实根.2．方程有一个实根：2.279022215215333*x.将方程以下面六种不同方式等价地改写，构造迭代格式，计算*x:(a)253xxx,(b)353xx,(c)353xx,(d)352xx(e)xx53,(f)1533123xxxxx.3.对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计6110,toltolxxkk来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值的结果.4.从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.5.将收敛较慢的一种格式分别用Atken方法及Steffsen方法加速，通过输出结果了解加速效果.6.将一种不收敛的方法用Steffsen方法加速得到收敛的迭代.【实验过程与结果】1.用matlab编程计算代数方程的根2.分别编写6个迭代法编程，对结果进行分析【结果分析、讨论与结论】迭代公式1：x1=数值分析实验指导第3页2.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.5000迭代公式2：x2=1.0e+142*0.00000.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-1.4947-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf数值分析实验指导第4页-Inf迭代公式3：x3=2.00003.31663.86654.07434.15004.17734.18714.19064.19194.19234.19254.19264.19264.19264.19264.19264.19264.19264.19264.1926迭代公式4：x4=2.00005.00000.2273-1.6959-40.30950.0031-1.6667-22.50180.0099-1.6667-22.51850.0099-1.6667-22.51850.0099-1.6667-22.5185数值分析实验指导第5页0.0099-1.6667-22.5185迭代公式5：x5=2.00002.34522.26542.28192.27842.27912.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790迭代公式6：x6=2.00002.33332.28062.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790数值分析实验指导第6页2.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790从上述的运算结果可以看出，迭代公式1、2、4不收敛，3虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对5和6分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：对于5埃特金加速结果：B=2.00002.28042.27912.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27900斯特芬森迭代结果：x=2.00002.15472.27922.27902.27902.2790数值分析实验指导第7页2.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790对于6埃特金加速结果：B=2.00002.28782.27902.27902.27902.2790斯特芬森迭代结果：x=2.00002.15442.28382.27902.2790从以上结果可以看出，埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度，且在此题的情况下，两种方法的加速效果差不多，但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解，运算步骤也少一些，因此对于此题，我们可以选用埃特金加速方法。【附程序】function[k,x,da,g]=newton(x0,tol)k=1;g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);x1=x0-g1/g2;whileabs(x1-x0)tolx0=x1;数值分析实验指导第8页g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);k=k+1;x1=x0-g1/g2;endk;x=x1;da=abs(x1-x0)/2;g=fun1(x);endfunctiong1=fun1(x)g1=x^3-3*x-5;endfunctiong2=fun2(x)g2=3*x^2-3;endfunctiong1=fun1(x)g1=x^3-3*x-5;endfunctionx=Aitken(A);n=length(A);x=zeros(n,1);t=0;x(1)=A(1);fori=1:n-2x(i+1)=A(i)-((A(i+1)-A(i))^2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2));endfunctionx=Steffsen(A,B)n=length(B);x=zeros(n,1);x(1)=B(1);fori=2:nx(i)=A(i)-((B(i-1)-A(i))^2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i));end④%构造迭代算法x=(3*x+5)/(x^2)functionx=diedai1(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数数值分析实验指导第9页x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1))/(x(i-1)^2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend⑤%构造迭代算法x=(x^3-5)/3functionx=diedai2(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(x(i-1)^3-5)/3;endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend⑥%构造迭代算法x=(3*x+5)^(1/3)functionx=diedai3(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1)+5)^(1/2);end数值分析实验指导第10页k=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend⑦%构造迭代算法x=5/(x^2-3)functionx=diedai4(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=5/(x(i-1)^2-3);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend⑧%构造迭代算法x=sqrt(3+5/x)functionx=diedai5(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=sqrt(3+5/x(i-1));endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend数值分析实验指导第11页⑨%构造迭代算法x=x-(x^3-3*x-5)/(3*(x^2-1))functionx=diedai6(x0,tol,N)%x0是初值，tol为迭代精度，N是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=x(i-1)-(x(i-1)^3-3*x(i-1)-5)/(3*(x(i-1)^2-1));endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend