控制工程-4时间响应分析

1本章主要内容、基本要求、重点和难点主要内容：(1)时间响应概念：时间响应是系统在外加作用激励下，输出随时间变化的函数关系。研究时间响应目的是分析系统的动态性能。(2)典型输入信号和时域性能指标。(3)一阶系统的瞬态响应分析(4)二阶系统的瞬态响应分析及性能指标。(5)系统稳态误差的分析与计算以及减小稳态误差方法。2•基本要求:(1)了解线性定常系统时域性能分析的基本内容，典型输入信号形式及性能指标的规定(2)掌握一阶系统瞬态响应的分析(3)掌握二阶系统阶跃响应的分析，取不同值时的特征根在S平面上的分布及相应特性曲线，利用公式计算性能指标，了解参数n和对性能的影响趋势。(4)掌握稳态误差的概念，计算典型输入时，不同类型系统的稳态误差，计算扰动作用下稳态误差，了解减小稳态误差措施。3•重点与难点:–系统稳定性与特征根实部的关系–一阶系统的基本参数T、一阶系统单位脉冲响应、单位阶跃响应的曲线–二阶系统的基本参数、二阶系统单位脉冲响应、单位阶跃响应的曲线、响应曲线与系统阻尼比的关系、二阶系统的性能指标–误差与偏差的概念及其关系、稳态误差的计算、系统的输入和结构对偏差的影响4一、时间响应及其组成这个非齐次微分方程的完全解由两部分组成：式中y1(t)是与其对应的微分方程的通解y2(t)是其一个特解。若外力输入f(t)=Fcosωt，可求出完全解为：在零初始条件下可求得：f(t)y(t)mK)()()(tftKytymtKFtBtAtynncos11cossin)(2零状态响应强迫响应自由响应零输入响应＋－－tKFtKFtytytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(22由初始条件（初始状态）引起的自由振动，振动频率为系统本身的固有频率，亦为系统微分方程的通解由无输入时系统的初始状态引起的自由响应在系统的初始状态为0时，由输入引起的响应y(t)=y1(t)+y2(t)n/由外力作用引起的强迫振动，振动频率为作用力频率，亦为系统微分方程的特解51.由于系统的传递函数定义时已指明系统的初始状态为0，故一般无特殊说明时，系统的时间响应都是零状态响应。对于一般情况，微分方程齐次方程的特征根si不相同，则解为:2.特征根si对系统时间响应的影响:–若所有Re(si)0，则随时间的增加，自由响应逐渐衰减，当t→∞时自由响应趋于0，此时系统稳定，该自由响应称为瞬态响应。–若有一个Re(si)0，则随时间的增加，自由响应逐渐增大，当t→∞时自由响应趋于∞，此时系统不稳定，该自由响应就不是瞬态响应。)t(BeAeA)t(yn1itsi2n1itsi1ii自由响应强迫响应零输入响应零状态响应6–Re(si)大于0还是小于0，决定着系统是否稳定，–在系统稳定的情况下，也即是Re(si)＜0时，其绝对值的大小决定着系统的响应速度，绝对值越大响应速度越快–而Im(si)将决定系统的振荡情况，影响着响应的准确性3.稳态响应就是强迫响应。7典型时间响应：单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位加速度响应等系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。–过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。–稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。二、基本概念8三、典型输入信号及系统输出相应的求取方法典型输入信号：–单位脉冲函数(t)–单位阶跃函数u(t)–单位斜坡函数–单位抛物线函数–正、余弦函数–某些随机函数系统输出响应的一般求取方法：–1.x(t)X(s)–2.G(s)=Y(s)/X(s)Y(s)=X(s)G(s)–3.Y(s)y(t)9四、一阶系统及其时间响应一阶系统的单位脉冲响应xi(t)=(t),Xi(s)=111)()()(TssXsXsGioTsTTssGsXsXio111111)()(01)(1tTsxtgtxeLTtoo特点:一阶系统的单位脉冲响应是一条单调下降指数曲线。系统的时间常数T愈小，其过渡过程持续时间愈短，表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好。1/T2T3T4TTt10•一阶系统的单位阶跃响应xi(t)=u(t),Xi(s)=1/sTssTsssXsGsXio11111111)()()(TssXsXsGio）（01)(1tsXthtxeLTtoo特点：一阶系统的单位阶跃响应是一条单调上升的指数曲线T反映了系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性愈小，系统的响应速度愈快。t4T3T2TT111对比一阶系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应h(t)，可知它们之间的关系为：输入信号之间———输出响应之间———结论：dtttutut)()(),()(dttgththtg)()(),()(如果输入函数等于某一函数的积分（导数），则该输入函数的响应函数也等于这一函数的响应函数的积分（导数）。线性系统的微积分性12与标准形式对比得：T=1/10=0.1ts=3T=0.3s•例：某一阶系统如图,(1)求调节时间ts10/110101001.0)/100(1/100)()(1)()(sssssHsGsGsGB•若要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即T=0.1/3s,则：hhhBKsKsKssG100/1/1/1001/100)(31.01001hK3.0hK0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)•解题关键：求闭环传递函数并化为标准形式，找出时间常数T。Kh(2)若要求ts=0.1s,求反馈系数Kh.13五、二阶系统及其时间响应阻尼比取不同值时，二阶系统的特征根也不同。2222)()()(nnniosssXsXsG122,1nns传递函数：二阶系统的特征方程：s2+2ns+n2=0其特征根：1012101210120当1时，两特征根为不等负实根，此时系统称为过阻尼系统。当＝1时，两特征根为相等负实根，此时系统称为临界阻尼系统当01时，两特征根为共轭复数，此时系统称为欠阻尼系统当＝0时，两特征根为共轭纯虚根，此时系统称为无阻尼系统141.当01时，两特征根为共轭复数，二阶系统传递函数的极点是一对位于复数平面左半平面的共轭复数极点，此时，系统称为欠阻尼系统；2.当＝0时，两特征根为共轭纯虚根，此时系统称为无阻尼系统；3.当＝1时，两特征根为相等负实根，此时系统称为临界阻尼系统；4.当1时，两特征根为不等负实根，此时系统称为过阻尼系统。此时，二阶系统可视为两个一阶惯性环节的组合。15特征根在复平面中的位置及其对系统响应的影响n21nS1S2S2S1S1S1、2S201欠阻尼系统＝0无阻尼系统＝1临界阻尼系统1过阻尼系统阻尼比不同时，二阶系统的瞬态响应有很大差别：当＝0，系统等幅振荡，不能正常工作；当≥1，系统瞬态响应为非周期过渡，无振荡，响应速度很慢；当01，系统瞬态响应为衰减振荡，对应＝0.4～0.8时，响应过程不仅过渡过程时间短，而且振荡也不严重。因此，一般选择二阶系统工作在＝0.4～0.8的欠阻尼状态下。16•二阶系统的单位脉冲响应xi(t)=(t),Xi(s)=1,0t,tsintg0nn时，)0t(,ee12tg1t1t12nn2n2时，)0t(,t1sine1tg102nt2nn时，)0t(,tetg1t2nn时，2222)()()(nnniosssXsXsG输出响应曲线?输出响应曲线?输出响应曲线?输出响应曲线?1718•二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应由图可知：欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅正弦振荡曲线，且越小,振荡越剧烈,峰值越大,衰减越慢,振荡频率越大。故欠阻尼系统又称为二阶衰减振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于ωn。当取不同值时，=0.1=0.3=0.819二阶系统的单位阶跃响应xi(t)=u(t),Xi(s)=1/s–=0，xo(t)=h(t)=1-cosnt–=1，xo(t)=h(t)=1-(1+nt)e-ωnt–01，–1，2122211sin11sin1cos1)(tgteettethtxnttddtonnnttonneethtx121222211111211等幅振荡无振荡，单调衰减振荡无振荡，单调20二阶系统的单位阶跃响应曲线1.1时，其响应过程(过渡过程)为衰减振荡，振荡频率为d;并且随着阻尼比减小，其振荡特性表现得愈强烈；2.=0时，其响应过程为等幅振荡，振荡频率为n;3.在=1和1时，其响应过程具有单调上升的特性21六、二阶系统响应的性能指标系统性能指标的前提条件：–欠阻尼二阶系统–单位阶跃输入性能指标一般有：1tptrtsΔMpd2nd21,1arctan其中，d)7.0005.0302.04nn（时）（时）（%10021/eds/2t上升时间tr峰值时间tp调整时间ts最大超调量Mp振荡次数N有阻尼振荡频率响应快速性稳定性22系统参数对性能指标与的影响：系统响应速度快,,,.1sprnttt，系统响应速度变慢但定性加强系统振荡性能减弱，稳prpt,t,N,M.2。和选取合适的要有一定的响应速度，就振荡性能，又要系统具弱方面存在矛盾，既要减故系统的瞬态性能的两n23七、二阶系统性能指标计算例：设系统方框图如图，其中当有一阶跃信号作用于系统时，求其性能指标。15,2.1snY(s)E(s)X(s))(2nnss求系统的闭环传递函数：22222)()(1)()(nnnnnnBsssssGsGsG对比二阶系统传递函数的一般形式可知：系统的阻尼比即为’=0.6，系统的固有频率即为n=5s-1所以，该系统在阶跃信号作用下的性能指标分别为：%5.9%10021/eMpstndp785012.1s30501.33s4020nnsstt时时..24例：如图示系统，假设该系统在单位阶跃响应中的超调量Mp=25%，峰值时间tp=0.5s，试确定K和τ的值。Y(s)E(s)X(s))1s(sKτs+1由给定的性能指标可以算出系统的阻尼比和固有频率：402510021.%%eMp122856504011sstnnndp...求系统的闭环传递函数：KsKsKsKssKsHsGsGsGB)()()()()()()(11112对比二阶系统传递函数的一般形式可知：101221472.KKKnnn25例：有一随动系统方框图如下图1，当系统输入单位阶跃函数时，Mp≤5％，（1）试校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一微分负反馈，如图2，求使系统瞬态性能满足要求的微分