学而思五年级秋季第七讲知识总结

学而思五年级秋季第七讲知识总结神奇的9（接上讲）2.9的整除特征①一个数能否被9整除，我们只需要看它的各个数位数字之和能否被9整除；并且它除以9的余数与数字和除以9的余数保持一致。②实际上算除以9的余数，不仅可以看数字和，也可以将原数任意分割后再相加，看这个和除以9的余数。例如：12345…9899除以9的余数，就等于1+2+3+4+……+98+99的和除以9的余数。证明和第①条一样，都是用位值原理。③弃9法：在算除以9的余数时，如果几个数的和是9或9的倍数，可以直接弃掉。注意等差数列中连续的9个数之和一定是9的倍数。对应题目：例4、例5、提3、尖33.进位原理与整除特征的综合运用对应题目：例6、提4、尖4下面以例6为例，再把解题方法复习一下：例6：下面算式由1~9中的8个组成，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。那么“数学解题”与“能力”的差的最大值是__________.【解析】首先判断哪一个数字没有用。在这个算式中，结果2010除以9余3，所以所有加数的数字和除以9也余3。因为1+2+……+9=45能被9整除，所以显然数字6没有用。其次计算进位的次数。加数的数字和为45–6=39，和的数字和为3，相差36，所以发生了4次进位。最后根据最值的要求往里填数。现在要求“数学解题”与“能力”的差最大，也就是“数学解题”尽可能大，“能力”尽可能小。显然“数”=1；“数学解题”最大，那么“学”=9；此时百位和十位分别发生了一次进位，那么个位进位两次，即“题”+“力”+“示”=20。现在还有数字2、3、4、5、7、8没有用，相加为20，只能是5+7+8=20；所以根据差最大的要求，“题”=8，“力”=5；同理，“解”=4，“能”=2；即“数学解题”与“能力”的差的最大值为1948–25=1923。④③②①ODCBA④③②①ODCBA蝴蝶模型1.任意四边形中的蝴蝶模型（1）①×③=②×④（2）ABDBCDSAOSOC△△；ACDABCSDOSOB△△对应题目：例12.梯形中的蝴蝶模型（1）①×③=②×④（2）ABDBCDSAOSOC△△；ACDABCSDOSOB△△（3）②=④（4）若AD:BC=a:b，则①：②：③：④=a2：ab：b2：ab在各种杯赛里，蝴蝶模型考查最多的就是梯形中的蝴蝶模型，尤其是第（3）和（4）条性质，大家一定要记熟。在题目中，看见交叉线一定要想到构造蝴蝶模型蝴蝶模型这一讲并不算难，关键是熟练掌握并应用蝴蝶模型的几个性质。下面是第七讲补充习题答案1.A的数字和是2012，B的数字和是1997，已知A和B作差的时候退了15次位，那么结果的数字和是多少？【解析】：2012-1997+15×9=150或者1997-2012+15×9=120．2.如下图所示的竖式中相同ABCDEF分别表示1-9中7个不同的数字，那么这七个数字的和是多少？  2 13    0ABCDEFG【解析】：共进位3次，所以数字和为2+1+3+9×3=33，而1624+389=2013是其中的一个解．3.123×123×1234×99999999结果的数字和是多少？【解析】：容易得知123×123×1234200×200×2000=8000000999999999，所以结果的数字和为9×8=72．4.1234567891011…19881989除以9的余数是多少？【解析】：1+2+3+…+1989=1990×1989÷2=995×1989，而1989是9的倍数，所以原来的数除以9的余数为0．5.将0-9中的9个数字填入下列算式中，那么没被选中的数字是多少？□□□□+□□+□□□=2290【解析】：左右两边除以9的余数相同，右边除以9余4，所以左边除以9的余数也是4，所以没选中的数字应该是5．1.如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？OCDBA第七讲蝴蝶模型上讲回顾本讲巩固【解析】：根据蝴蝶定理求得3121.5AODS△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米．2.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？【解析】：⑴根据蝴蝶定理，123BGCS，那么6BGCS⑵:1:3AGGC3.（2007年第12届华杯赛决赛）在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，20BOCS平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．【解析】：上底：下底=5：10=1:2，根据梯形蝴蝶模型的结论，:::1:2:4:2AODAOBBOCCODSSSS，所以:4:9梯形BOCABCDSS，所以梯形ABCD的面积为20÷4×9=45平方厘米．4.如图，22S，34S，求梯形的面积．【解析】：显然422SS，所以12431SSSS，所以梯形面积为1+2+2+4=9．5.（2009年第14届华杯赛决赛）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O．已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积．【解析】：根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，则根据蝴蝶模型22::::::9:15:25:15DOCAODAOBCOBSSSSaabbab，令AOBS=25份，则梯形ABCD共有：9+15+25+15=64份．所以1份为：4÷64=116，则三角形OAB的面积为116×25=2516．321GDCBAODCBAS4S3S2S1ABCDO6.已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是平方厘米．【解析】：连接AC．由于ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，所以:2:3CEAD，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS，所以6AOCS（平方厘米），9AODS（平方厘米），又6915ABCACDSS（平方厘米），阴影部分面积为61521（平方厘米）．7.如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是1004，三角形BCH的面积是1009，求四边形EGFH的面积．【解析】：如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是1004+1009=2013．8.在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形ABF的面积为8平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．【解析】：连接DE，BE:AD=1:2，根据梯形的蝴蝶模型，得到:::1:2:4:2BEFEFDAFDABFSSSS，所以:2:9梯形ABFABEDSS，所以梯形ABED的面积为8÷2×9=36平方厘米，所以△DCE的面积为36÷3=12平方厘米，所以正方形面积为36+12=48平方厘米．OEDCBAHGFEDCBAHGFEDCBAABCDEFFEDCBA9.E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是12，三角形DEF的面积是8，求四边形BCEF的面积为多少？【解析】：如图，根据梯形的蝴蝶中，△BEF的面积为12，△ABF的面积为12×12÷8=18，所以△ABE的面积为18+12=30，所以梯形的面积为30×2=60，所以△BEC的面积为60-12-12-8-18=10，所以四边形BCEF的面积为12+10=22．10.如图所示两个正方形ABCD和CEFG并排放置，已知BF与CD交于H并且DH=2CH，三角形DHF的面积为24，那么五边形ABEFD的面积是多少？【解析】：连BD、CF，那么四边形BCFE是梯形，而CH：DH=1：2，根据梯形中的蝴蝶模型，得到△CHB的面积为24，△CHF的面积为12，△BHD的面积为48，所以△CDB面积为24+48=72，所以大正方形面积为144．那么得到边长CD的长度为12，而△CDF的面积为12+24=36，所以可以得到GF=36×2÷12=6，那么小正方形面积为36，△GDF面积为（12-6）×6÷2=18，所以五边形面积为18+36+144=198．FEDCBAFEDCBAHGFEDCBAHGFEDCBA