1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

POWERPOINTPRESENTATIONMathematics数学选修2-3授课人：范国柱凯里实验高级中学杨辉（南宋著名数学家）杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉课前引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入新知探究展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC“杨辉三角”的来历及规律新知探究(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?新知探究(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这就是组合数的性质1:mnmnnCC新知探究(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6①每行两端都是101nnnCC+++②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和11mmmnnnCCC++++++++++++新知探究(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6(2)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与新知探究(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnnknnkCCknkkknkk所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn12111nkkkn12nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。新知探究(2)增减性与最大值.11212nrnrnabnnrCnrC，，，，：的二项展开式共有项，当时二项式系数的值逐渐增大当时二项式系数的值逐渐变小即小→大←小21122nnnnnnCCC；当n为偶数时，中间项二项式系数最大当n为奇数时，中间两项二项式系数最大，①②2nnab3性质3:的二项展开式中，所有二项式系数的和等于011222222111......nnnnrnrrnnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCabCabCb证明（赋值法）：nnnnnn2CCCC210012211,2......nnrnnnnnnnnnnababCCCCCCC令则nab；4性质4:的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和011222333444555...nnnnnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCabCabCb证明（赋值法）：1,1ab令0123450241350241350...............nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnabCCCCCCCbCCCCCCCCCCCC则所以新知探究由函数图象也可以很直观地看到“对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质．(a+b)n展开式的二项式系数是可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.012,,,,.rnnnnnnCCCCC，,rnC..----------1084621620f(r).....369r01122222211101122......,,nnnnnrnrrnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababCaCabCabCabCabCabCbCCCCCCab，等二项展开式中的系数的性质1性质1（对称性）:如2性质2（增减性与最大值）:的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；中的2112211212rnrnnnnnnnnnrCnrCCCC，，，，：；二项展开式共有项，当时二项式系数的值逐渐增大当时二项式系数的值逐渐变小即小→大←小当n为偶数时，中间项二项式系数最大当n为奇数时，中间两项二项式系，①数最大②404132223134424444445051423232344552355555555abCaCabCabCabCbCabCaCabCabCabCabCbCC，，，如中第3项的二项式系数最大中第3项和第4项的二项式系数最大911______2______3______nnxnababn已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则的展开式中，二项式系数的最大值是若的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，则例121122nnnnnnCCC；解析：①②当n为偶数时，中间项二项式系数最大当n为奇数时，中间两项二项式系数最大，945992126abCC一共有项，中间两项最大，即解：10910310919nnnabnCCn的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大为奇数，且37113710nnnxCCn的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等解：,112______212______nnxx已知的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大值是已知的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大值是例25611561111112561112462nnnxCCnxCC的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等又的展开式中二项式系数最大值为解：,565667556656822,2(5)!3(6)!22,253,8!!2125!(5)!6!(6)!nnnnnnTCxTCxnnCCCCnnnnxnn即的展开式中二项式系数解：48350C最大值为3221122nnxxxx若的展开式中的第6项的系数最大，则常数项为_________的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________例335210103330323051101010226101101130506210nnrrrrrrrrrxCxnnxTCxCxCxxxrrC的展开式中的第6项的系数最大，即为偶数的通项为当，时，常数项为解：,101012221210252210102210222502101222802,rrrrrrrnxxxxxrCxCxrrC第6项的二项式系数最大，则，则二项展开式的通项为，所以则常数项为解：221124272,,137,_________nmmxmxyaxybabm在的展开式中，第项的二项式系数是倒数第项的二项式系数的倍，则展开式中二项式系数最大的是_________（写出完整项）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为若则例431312444484277127,7,34003285121120nnnnnCCnnnCCnnnnnCxx第项的二项式系数是倒数第项的二项式系数的倍即化简得或（舍）则展开式中二项式系数最大的是解：2222112121212212,,,1372!21!137!2!!21!21137,61mmmmmmmmmmmmmmmmxyCCaxyCCCbCCmmmmmmmmmmm展开式的二项式系数的最大值为即展开式的二项式系数的最大值为或即，化简得解得12...1!!!!mmnnnnnnmCCnnmmm；解析：二项式系数的最①②值常用到组合数的运算公式1.二项式系数与项的系数的区别12201201112222212201222322323...23...322323...23...3......nnnnnrrnrnnnnnnnnnnnnrnrrnrrnnnnnnnnnnnnrrrnxyCxCxyCxyCxyCyCxCxyCxyCxyCyaxaxyaxyaxya原式如221101210121............nnnnnrnnnnnnnnrnnxyaxyayCCCCCCaaaaaa、、、、、、二项式系数:项的系数:0112212012012101211........................nnnnrnrnnnnnnnnnnrnrnrnnnnnnnnrnnxCxCxCxCxCaxaxaxaxaxCCCCCCaaaaaa、、、、、、如二项式系数:项的系数:2112211212nrnrnnnnnnnnabnnrCnrCCabCC；，，，，：；2.二项展开式中的系数的最值问题，涉及到两类问题：1二项式系数的最值的二项展开式共有项，当时二项式系数的值逐渐增大当时二项式系数的值逐渐变小即小→大←小当n为偶数时，中间项二项式系数最大中二项式系数的最值当n为奇数时，中间两项二项式系数最大，①②121rrrrTTTT（本项后项）（本项前项）2项的系数的最值；本项系数大于等于前项系数，本项系数大于等于后项系数，即201512320,12xxx在的展开式中，系数最大的项是______________(要求写出完整项)若则的二项式展开式中，系数最大的项是第____________项例5,，解析：注意项的系数与二次项系数的区别以及是两个不等式的解法，组合数公式的运用202020120202011911202020