高三一轮复习圆锥曲线的综合问题

栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ＞0⇔直线与圆锥曲线________；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线________；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线________．相交相切相离栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．若曲线为双曲线，则直线与双曲线的________平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的________平行．2．圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝_________________．渐近线对称轴1＋k2|x1－x2|栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.12B.13C.14D．4C栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．03．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→等于()A.34B．－34C．3D．－3AB栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为_____________________．5．抛物线y2＝4x被直线y＝2x＋k截得的弦长为35，则k值为________．x29－y227＝1－4栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．直线与圆锥曲线的位置关系[课堂笔记]栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.①因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x2＝－43y的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意，得b＝3.又ca＝12，解得a＝2，c＝1，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1.由x24＋y23＝1，y＝k（x－2）＋1，栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得32(6k＋3)＝0，解得k＝－12.所以直线l的方程为y＝－12(x－2)＋1＝－12x＋2.将k＝－12代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为1，32.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－2)2＋(y－b)2＝r2(b0)经过点(1，0)，且圆C被x轴和y轴截得的弦长之比为1∶6.(1)求圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋3(k0)与圆C相交于A，B两点，求OA→·OB→的取值范围．最值与范围问题[课堂笔记]栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)由题意得，圆C的圆心坐标为(2，b)，又圆过点(1，0)，所以圆C被x轴截得的弦长为2.因为圆C被x轴和y轴所截得的弦长之比为1∶6，所以圆C被y轴截得的弦长为26.所以r2＝22＋(6)2＝10，故b＝r2－1＝3.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝10.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx＋3（x－2）2＋（y－3）2＝10，得(k2＋1)x2－4x－6＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关所以Δ＝16＋24(k2＋1)0，x1＋x2＝4k2＋1，x1x2＝－6k2＋1.所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝12kk2＋1＋3＝12k＋1k＋3.因为k＋1k≥2，当且仅当k＝1时取等号，故012k＋1k≤6，所以312k＋1k＋3≤9，所以OA→·OB→的取值范围是(3，9]．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求最值与范围问题的方法：求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似．求最值常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(卓越联盟自主招生试题)已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－3相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，所以a2－b2＝1.将y＝x－3代入椭圆方程，整理得(a2＋b2)x2－23a2x＋a2(3－b2)＝0，即(2a2－1)x2－23a2x＋a2(4－a2)＝0.因为椭圆与直线y＝x－3相切，所以(－23a2)2－4a2(2a2－1)(4－a2)＝0，解得a2＝1(舍去)或a2＝2，所以b2＝1.故所求椭圆方程为x22＋y2＝1.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)设直线l1的方程为λy＝x＋1，代入椭圆方程消去x，得(λ2＋2)y2－2λy－1＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝2λλ2＋2，y1y2＝－1λ2＋2，则(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝8（1＋λ2）（λ2＋2）2.而x1－x2＝λ(y1－y2)，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋λ2)(y1－y2)2＝8（1＋λ2）2（λ2＋2）2，所以|PQ|＝22（1＋λ2）2＋λ2.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关结合条件知直线l2的方程为y＝－λ(x＋1)，同理可得|MN|＝22（λ2＋1）2λ2＋1.故四边形PMQN的面积S＝12|PQ|·|MN|＝4（1＋λ2）2（λ2＋2）（2λ2＋1），令u＝1λ2＋1，则0u≤1，则S＝169－（2u－1）2.当u＝12，即λ＝±1时，S取得最小值169；当u＝1，即λ＝0时，S取得最大值2.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2014·东北三校联合模拟考试)已知点E(m，0)(m0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．定点、定值问题(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．[课堂笔记]栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD.设AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k1（x－1）y2＝4x得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4.∵Mx1＋x22，y1＋y22，∴M2k21＋1，2k1，同理，点N(2k21＋1，－2k1)，∴S△EMN＝12|EM|·|EN|栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关＝122k212＋2k12·（2k21）2＋（－2k1）2＝2k21＋1k21＋2≥22＋2＝4，当且仅当k21＝1k21，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.(2)证明：设AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝k1（x－m）y2＝4x，得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m，栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关∵Mx1＋x22，y1＋y22，∴M2k21＋m，2k1，同理，点N2k22＋m，2k2，∴kMN＝k1k2k1＋k2＝k1k2.∴MN的方程为y－2k1＝k1k2x－2k21＋m，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m，2)．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关以直线与圆锥曲线的位置关系