文明创新求实进取

文明创新求实进取数学史上的三次危机奇妙的自然数π的历史虚数不虚数的由来和发展数系自然数整数有理数引起数学危机的无理数分形----自然几何数学史上的三次危机无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！无穷小是零吗？──第二次数学危机18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。悖论的产生---第三次数学危机数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。奇妙的自然数1,2,3,4,5,……这些简简单单的自然数，是我们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4……的顺序计算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98……，直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此，101×50就得出5050的总和了。从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。我们前面提到过完全数和友好数，除了这两种有趣的数以外，自然数中还有一类数被称为自守数。所谓自守数就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。例如：21×21=42121×21×21=9261325×325=1056256×6×6×6=1296这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成，这里a为任意自然数，那么：由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。比如末尾是25和76的数就是自守数。如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。奇数数列是1,3,5,7,…n,…（n为项数）偶数数列是2,4,6,8,…2n,…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：这个结论可以用数学归纳法来证明，不过相当麻烦。其实我们只要画一张最简单的方格图，这个性质就一目了然了。图中除左下角的·代表1以外，每条虚线分别代表一个奇数。这张图清楚地说明了为什么自然数中奇数数列各项之和等于项数的平方。自然数中偶数数列则有如下的性质：2=1×22+4=6=2×32+4+6=12=3×42+4+6+8=20=4×5……2+4+6+8+…+n=n（n+1）不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结论。此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对称，如11，121，1221，9339，30203等等。回文数本身倒也没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有限的步骤后必能得到一个回文数：如：95+59=154154+451=605605+506=11111111就是一个回文数。又如：198+891=10891089+9801=1089010890+09801=2069120691+19602=4029340293+39204=7949779497又是一个回文数。是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机对196用上述办法重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论，所有196问题也成了世界性数学难题之一。经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。让我们再看一个有趣的数字现象：随意取4个数，如8，3，12，5写在圆周的四面。用两个相领数中的大数减小数，将得数写在第二圈圆周。如此做下去不久，必会得到4个相同的数。这个现象是意大利教授杜西在1930年发现的，所以叫作杜西现象。在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。把6174各位数字从大到小排列，再从小到大排列，然后用大数减小数，结果还得到6174。7641-1467=6174有趣的是，不仅6174本身，就是任意一个四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。例如：1234这个数，我们用下列步聚运算：4321-1234=30878730-0378=83528532-2358=6174再举一例，如2883，则有：8832-2388=19989981-1899=79829872-2789=70837830-0387=74437443-3447=39969963-3699=62646642-2466=41767641-1467=6174对三位数字，用这个办法最终将得到495。例如867，运算如下：876-678=198981-189=792972-279=693963-369=594954-459=495你还可以用其它数字来验证一下，看看对不对。五位以上的数字，这个规律就不明显了。最后再让我们看两组有趣的数：第一组为：1,6,7,23,24,30,38,47,54,55第二组为：2,3,10,19,27,33,34,50,51,56这两组数有什么奇特之处呢？首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。不要着急，我们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来．方幂次数每组数方幂和012345678102851168553608526043813130975312567340068053512261547765185039471773893从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么呢？这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决，哥德巴赫猜想就是其中之一。π的历史圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π来表示。1706年，英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为（约为3.16）。直正使