不等关系与不等式-(共36张PPT)

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第一节不等关系与不等式[小题热身]1.(2017·江西七校联考(一))若a、b是任意实数,且ab,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.(13)a(13)bC.lg(a-b)0D.ba1解析:解法一因为函数f(x)=(13)x在R上是减函数,又ab,所以(13)a(13)b,故选B.解法二取a=13,b=-12,则a2=19,b2=14,a2b2,lg(a-b)=lg560,ba01,故排除A,C,D选项,故选B.答案:B2.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:a0b0⇒a+b0ab0.又当ab0时,a与b同号,由a+b0知a0,且b0.答案:C3.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.M=ND.不确定解析:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-10,a2-10.∴(a1-1)(a2-1)0,即M-N0.∴MN.答案:B4.(2017·长沙一模)对于任意实数a、b、c、d,给出以下命题:①若ab,则1a1b;②若ab,cd,则a-cb-d;③若ab,则ac2bc2;④若ab0,cd,则acbd.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①若a0,b0,显然不成立;②若a=5,b=3,c=6,d=1,显然不成立;③若c=0,显然不成立;④若a=2,b=1,c=-1,d=-2,显然不成立.故选A.答案:A5.12-1________3+1(填“”或“”).解析:12-1=2+13+1答案:6.下列不等式中恒成立的是________.①m-3m-5;②5-m3-m;③5m3m;④5+m5-m.解析:m-3-m+5=20,故①恒成立;5-m-3+m=20,故②恒成立;5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立;5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立.答案:①②[知识重温]一、必记4●个知识点1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔①________;(2)a=b⇔a-b=0;(3)ab⇔②________.a-b0a-b02.不等式的基本性质(1)对称性:ab⇔③________;(双向性)(2)传递性:ab,bc⇒④________;(单向性)(3)可加性:ab⇔a+cb+c;(双向性)(4)ab,cd⇔⑤________;(单向性)(5)可乘性:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc;(6)ab0,cd0⇒⑥________;(单向性)(7)乘方法则:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1);(单向性)(8)开方法则:ab0⇒nanb(n∈N,n≥2);(单向性)baaca+cb+dacbd3.倒数性质设ab0,则ab⇔1a1b.(双向性)4.有关分数的性质若ab0,m0,则(1)bab+ma+m;bab-ma-m(b-m0)(2)aba+mb+m;aba-mb-m(b-m0)二、必明2●个易误点1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,bc⇒ac.2.在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有ab⇒ac2bc2;若无c≠0这个条件,ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).[授课提示:对应学生用书第092页]考向一比较大小[自主练透型][例1](1)(2017·长春模拟)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac[解析](1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2,∴b=a2+1,∴b-a=a2-a+1=(a-12)2+340,∴ba,∴c≥ba.(2)方法一易知a,b,c都是正数,ba=3ln44ln3=log81641,所以ab;bc=5ln44ln5=log62510241,所以bc.即cba.方法二对于函数y=f(x)=lnxx,y′=1-lnxx2,易知当xe时,函数f(x)单调递减.因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.[答案](1)A(2)B[悟·技法]比较大小常用的方法(1)作差法,其步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论.注意:含根号的式子作差时一般先乘方再作差.(2)作商法,其步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.[通·一类]1.若a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是________.解析:作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2),∵a1a2,b1b2,∴(a1-a2)·(b1-b2)0,即a1b1+a2b2a1b2+a2b1.答案:a1b1+a2b2a1b2+a2b12.若a=ln22,b=ln33,则a________b(填“”或“”).解析:易知a,b都是正数,ba=2ln33ln2=log891,所以ba.答案:考向二不等式是否成立的判断[互动讲练型][例2](1)(2016·北京卷)已知x,y∈R,且xy0,则()A.1x-1y0B.sinx-siny0C.12x-12y0D.lnx+lny0[解析]函数y=12x在(0,+∞)上为减函数,∴当xy0时,12x12y,即12x-12y0,故C正确;函数y=1x在(0,+∞)上为减函数,∴由xy0⇒1x1y⇒1x-1y0,故A错误;函数y=sinx在(0,+∞)上不单调,当xy0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误;xy0xy1ln(xy)0⇒/lnx+lny0,故D错误.[答案]C(2)(2016·浙江卷)已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2100[解析]利用特值法验证.令a=3,b=3,c=-11.5排除A;令a=4,b=-15.5,c=0,排除B;令a=11,b=-10.5,c=0,排除C,故选D.[答案]D[悟·技法]判断不等式命题真假的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.[通·一类]3.(2017·吉林长春二模)若a,b∈R且ab,则下列不等式恒成立的是()A.a2b2B.ab1C.2a2bD.lg(a-b)0解析:选项A,当a=-1且b=-2时,显然满足ab,但不满足a2b2,故错误;选项B,当a=-1且b=-2时,显然满足ab,但ab=12,故错误;选项C,由指数函数的单调性可知ab时,2a2b,故正确;选项D,当a=-1且b=-2时,显然满足ab,但lg(a-b)=lg1=0,故错误.故选C.答案:C考向三利用不等式的性质求范围[互动讲练型][例3]设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.[解析]法一设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得m+n=4,n-m=-2,解得m=3,n=1.∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.法二由f-1=a-b,f1=a+b得a=12[f-1+f1],b=12[f1-f-1],∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤法三由1≤a-b≤2,2≤a+b≤4确定的平面区域如图阴影部分,当f(-2)=4a-2b过点A32,12时,取得最小值4×32-2×12=5,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.[答案][5,10][悟·技法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.[通·一类]4.已知-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是________.(答案用区间表示)解析:法一设2x-3y=a(x+y)+b(x-y),由待定系数法可得a+b=2,a-b=-3,解得a=-12,b=52,所以z=-12(x+y)+52(x-y).又-2-12x+y12,552x-y152,所以两式相加可得z∈(3,8).法二作出不等式组-1x+y4,2x-y3表示的可行域,如图中阴影部分所示.平移直线2x-3y=0,当相应直线经过x-y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,z取得最小值,zmin=2×3-3×1=3;当相应直线经过x+y=-1与x-y=3的交点B(1,-2)时,z取得最大值,zmax=2×1+3×2=8,所以z∈(3,8).答案:(3,8)

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