正多边形与圆及扇形的弧长与面积知识点精选习题

1正多边形与圆及扇形的弧长与面积知识点精选习题一．解答题（共18小题）1．（2011•禅城区模拟）某住宅小区大门的电动栏杆AC=3.2米，A为旋转支点．AB、CD为栏杆的支架，AB=CD=80厘米．当栏杆AC向上旋转60°时，端点C离地高度是多少？C转过的弧长是多少？2．（2011•无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，都经过BC的中点D．则图中阴影部分面积是．4．如图，边长为a的正方形ABCD的四边贴着直线l向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O经过的路程是多少？顶点A经过的路程又是多少？5．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半径r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．6．如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积为（1）求BD的长及∠A的度数（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．27．（2010•巫山县模拟）如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=m，底面⊙O的直径AB=4m，B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，求出小猫绕侧面前行的最短距离．8．（2010•桥西区模拟）如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10cm．（1）求圆锥的全面积；（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．9．（2009•岳阳一模）如图，一个用卡纸做成的圆饼状图形放置在V形架中．CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B．如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，（1）求∠ACB的度数．（2）若将扇形AOB做成一个圆锥，求此圆锥底面圆半径．10．一个扇形如图，半径为10cm，圆心角为270°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥的侧面积．11．我区南阳镇是中国雨伞之都．如图一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径AC长为15分米，伞骨AB长为9分米，现有半径为9分米一个圆形面料经裁剪可用作伞布．（1）求应裁剪多少平方分米的面料？（结果保留4个有效数字）（2）应剪去扇形纸片的圆心角为多少度？312．如图，已知半径为18cm的圆形纸片，如果要在这张纸片上裁剪出一个扇形作为圆锥的侧面，一个圆作为圆锥的底面，试问该如何裁剪，能使圆锥的底面圆面积尽量大，并且扇形的弧长恰好与圆锥底面圆的周长相配套（即两者长度相等），求出这时圆锥的表面积．13．如图：有一个半径为R的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面，小芳想这样做：在圆弧上取点C，使∠AOC=60°，用扇形OBC作圆锥的侧面，在扇形OAC内剪一个最大的⊙M作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由．14．（2010•沙河口区一模）如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．15．（2001•宜昌）已知正方形ABCD的边心距OE=cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．16．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．（1）角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180﹣m|．于是，|180﹣m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=3，则该正n边形的“接近度”等于_________．②若n=20，则该正n边形的“接近度”等于_________．③当“接近度”等于_________．时，正n边形就成了圆．（2）边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算n=3，n=6时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？417．O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α=120°，请你通过观察或测量，填空：①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α=90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_________；②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为_________时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为_________时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．18．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？5参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．（2011•禅城区模拟）某住宅小区大门的电动栏杆AC=3.2米，A为旋转支点．AB、CD为栏杆的支架，AB=CD=80厘米．当栏杆AC向上旋转60°时，端点C离地高度是多少？C转过的弧长是多少？考点：弧长的计算．菁优网版权所有专题：计算题．分析：由C向BD作垂线，构造直角三角形求出C点距地面的高度，利用弧长公式求得C转过的弧长．解答：解：作CE⊥BD于E交AC于F点，∵AC=3.2，转过的角度为60°，∴CF=AC×sin60°=3.2×≈2.77米，∴CE=CF+EF=2.77+0.8=3.57米，∴端点C距离地面的高度为3.57米；C划过的弧长为：=≈1.1π．点评：本题考查了弧长的计算方法，解题的关键是弄清扇形的圆弧所对的圆心角的度数和扇形的半径．2．（2011•无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形．菁优网版权所有专题：作图题；几何综合题．分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可．解答：解：（1）作图如图；（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、、1，翻转角分别为90°、90°、150°，∴S=2×+2×+2×+4××12=+π+π+2=π+2．点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确地得到点A的翻转角度和半径．3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，都经过BC的中点D．则图中阴影部分面积是．6考点：扇形面积的计算；勾股定理．菁优网版权所有分析：根据等腰三角形的性质推知AD是边BC上的中垂线，所以根据勾股定理求得AD=6；通过图形知S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积，所以由圆的面积公式和三角形的面积公式可以求得阴影部分的面积．解答：解：AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）=π×52+π×52﹣×16×6=25π﹣48．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S阴影部分面积=S半圆AC的面积+S半圆AB的面积﹣S△ABC的面积．4．如图，边长为a的正方形ABCD的四边贴着直线l向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O经过的路程是多少？顶点A经过的路程又是多少？考点：弧长的计算；正方形的性质．菁优网版权所有分析：（1）根据题意，画出正方形ABCD“滚动”一周后中心O所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程；（2）根据题意，画出正方形ABCD“滚动”一周后顶点A所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心O所经过的路程．解答：解：（1）如图1，正方形ABCD“滚动”一周时，中心O所经过的路程为：（8分）=．（10分）（2）如图2，正方形ABCD“滚动”一周时，顶点A所经过的路程为：（18分）=．（20分）点评：本题考查了弧长的计算、正方形的性质．在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°．5．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半径r；（2）求劣弧的长（结果保留π）．考点：弧长的计算；垂径定理；解直角三角形．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可；（2）利用上题求得的圆的半径，将其代入弧长的公式求得弧长即可．7解答：解：（1）作OC⊥AB于C，则AC=AB=cm．∵∠AOB=120°，OA=OB∴∠A=30°．∴在Rt△AOC中，r=OA==2cm．（2）劣弧的长为：cm．点评：本题考查了垂径定理、弧长的计算及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．6．如图，已知在⊙O中，OB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积为（1）求BD的长及∠A的度数（2）若阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质；勾股定理；圆锥的计算．菁优网版权所有分析：（1）首先根据扇形面积公式求得∠BOD=120°；然后由垂径定理推知BD=2BF；最后在Rt△OBF中求得∠BOF=∠A+∠ABO=60°，由等腰三角形的性质推知∠A=∠ABO=30°；（2）根据圆锥的侧面积的计算方法来求所围成的圆锥的底面圆的半径．解答：解：（1）n=120°∵OC⊥BD，AC为直径，∴AC平分BD，∴BD=2BF，在Rt△OBF中，∠BOF=60°，BO=4，BF=，BD=，∠BOF=∠A+∠ABO=60°，∵OB=OA∴∠A=∠ABO=30°（2）∵∴点评：本题综合考查了勾股定理、圆锥的计算、等腰三角形的性质以及扇形的面积公式．解答（1）时，利用垂径定理求得BD=2BF是解题的关键所在．7．（