高考数学之经典母题30题(第二期)

高考数学之经典母题30题(第二期)1、设全集为R，集合A＝{x||x|＜3}，B＝{x|x2－4x－5≤0}，则()RABð＝()A、(]3,1−−；B、()3,1−−；C、()3,0−；D、()3,3−【答案】A【解析】因为{}{}33|3|−==xxxxA，{}15Bxx=−≤，所以()RACB={}13|−≤−xx。2、甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是A、13；B、23；C、34；D；35【答案】A【解析】甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五3天值班的安排方法共有6035=A种，甲安排在另外两位老师的前面，分3中情况，甲在星期一，有1224=A，甲在星期二，有623=A，甲在星期三，有222=A，共有202612=++，因此甲安排在另外两位老师的前面值班的概率316020==P，故答案为A。3、已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值mn＝()A、1B、13C、29D、38【答案】D【解析】由茎叶图可知乙的中位数是3323432=+，甲、乙两组数据中位数相同所以3=m，所以甲的平均数为333273339=++，甲、乙两组数据平均数也相同，所以33420383432=++++n解得8=n，所以mn＝384、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为em，众数0m，平均数为x，则()A、0emmx==；B、0emmx=C、0emmx；D、0emmx【答案】D【解析】显然得分值的众数为5；由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)；则中位数是第15、16个数(5与6)的平均数5.5265=+；平均数87.53066510)74(3)10983(2≈×+×++×++++×=x；所以0emmx5、已知函数3221()13fxxaxbx=+++，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A、79；B、13；C、59；D、23【答案】D【解析】由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得。求导数可得222fxxaxb′=++（），要满足题意需2220xaxb++=有两不等实根，2240abab∴∆=−∴（）＞，＞，又a，b的取法共3×3＝9种，其中满足a＞b的有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求的概率为6293=，故选D6、如图，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝3π，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为()。A、16；B、13；C、23；D、34【答案】C【解析】作辅助线ODOC、，∠AOB＝3π，则,6π=∠COD设圆的半径为1，可得,2=OC所以扇形的半径为3，由几何概型，点在圆C内的概率为=×××==22C3611ππAOBSSP扇形圆23，故选C。7、执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2＋log23，则输出y的值为()A、38；B、8；C、12；D、24【答案】D【解析】程序框图执行过程中的数据变化如下：22222log3log12,log124?,log24,24xxy=+=≥==输出y为248、若,,lmn是不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是()x≥4?输出y否是结束输入xx＝x＋y＝2x开始A、//,,//lnlnαβαβ⊂⊂⇒；B、,//lnmnlm⊥⊥⇒；C、,//llαβαβ⊥⇒⊥；D、,llαβαβ⊥⊂⇒⊥【答案】C【解析】对A，//,,//lnlnαβαβ⊂⊂⇒或,ln异面，故A错；对B，,//lnmnlm⊥⊥⇒或,lm相交或,lm异面，故B错；对C，,//llαβαβ⊥⇒⊥，正确；对D，,llαβαβ⊥⊂⇒⊥或,lβ相交或lβ⊂，只有当l垂直于,αβ的交线时，才有lβ⊥，故D错。9、如图，函数()yfx=的图象为折线ABC，设()()gxffx=，则函数()ygx=的图象为()【答案】A10、已知∈aR，若函数21()|2|2=−−fxxxa有三个或者四个零点，则函数2()41=++gxaxx的零点个数为()A、1或2；B、2；C、1或0；D、0或1或2【答案】A【解析】当2xa时21202xxa+−=，由0∆≥得1114(2)0,24aa−××−≥≥−。当2xa≥时21202xxa−+=，由0∆≥得1114(2)0,24aa−××≥≤，所以当1144a−≤≤时函数()fx有三个零点或四个零点，对2()41=++gxaxx，由0∆≥得1640,4(0)aaa−≥≤≠。当0a=时，()41gxx=+有一个零点；由于11444a−≤≤，所以2()41=++gxaxx有一个零点或两个零点，选A。11、有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知dcba+=+，cbda++，bca+则这四个小球由重到轻的排列顺序是()A、dbacB、adcbC、acbdD、cadb【答案】A【解析】a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，相加可得a＞c，进而点到b＜d。利用a＋c＜b，可得a＜b，即可得出。∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴2a＞2c，即a＞c，因此b＜d，∵a＋c＜b，∴a＜b，综上可得：c＜a＜b＜d，故选：A。12、在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则AEAF⋅=()A、52；B、32；C、4；D、2【答案】C【解析】将所求利用正方形的边对应的向量表示，然后利用正方形的性质解答，边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，所以02204AEAFADDFABBEADABDFABADBEDFBE=++⋅⋅⋅=+++=++=⋅⋅+（）（）；故选：CCABDFE13、计算：(1i)(12i)+−＝？(i为虚数单位)【答案】3i−【解析】∵2(1i)(12i)1223iiii+−=−+−=−14、在等差数列{}na和等比数列{}nb中，已知12128,2,1,2aabb=−=−==，那么满足nnab=的n的所有取值构成的集合是。【答案】{3，5}【解析】由已知得，1614,2nnnanb−=−=，令nnab=，可得16142nn−−=，解得3n=或5，所以满足nnab=的n的所有取值构成的集合是{3，5}。15、过点)4,0(M的直线l交抛物线yx42=于BA、两点，若AOM∆与BOM∆的面积比为2∶1(O为坐标原点)，则直线l的斜率为___________。【答案】22±16、设定义域为R的函数≤−−=,0,2,0,|lg|)(2xxxxxxf若关于x的函数1)(2)(22++=xbfxfy有8个不同的零点，则实数b的取值范围是____________。【答案】−−2,23【解析】由≤−−=,0,2,0,|lg|)(2xxxxxxf可知，设()tfx=，当且仅当()0,1t∈时对应的x值有4个，因此问题可转化为()22210gttbt=++=在()0,1上有两个不同实根，结合二次函数图像可得()()201234802201012210bbbggb−−⇒−−==++17、三棱锥PABC−中，PA⊥平面,ABCACBC⊥，D为侧棱PC上一点，它的正视图和侧视图(如下图所示)，则AD与平面PBC所成角的大小为___；三棱锥DABC−的体积为___。【答案】1623π，【解析】由题设及正视图可知ADPC⊥，又由PA⊥平面,ABCACBC⊥得BCAD⊥，所以AD⊥平面PBC，即AD与平面PBC所成角为2π，三棱锥DABC−的体积1116442323V=××××=18、在ABC∆中，若1,3,ABACABACBC==+=，则其形状为___，BABCBC=__。(①锐角三角形②钝角三角形③直角三角形，在横线上填上序号)；【答案】③，12【解析】由||||ABACBC+=知，ABAC⊥，所以ABC∆是直角三角形，||2BC=，利用数量积的几何意义得11122||BABCBC⋅×==。19、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。(1)根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率。【答案】(1)15.7；(2)47。【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.08x=×+×+×+×+×0.812.325.895.281.4=++++7.15=(Ⅱ)由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063×=人，设为x、y、z；成绩在[17,18)的人数为500.084×=人，设为A、B、C、D若,[13,14)mn∈时，有,,xyxzyz3种情况；若,[17,18)mn∈时，有,,,,,ABACADBCBDCD6种情况；若,mn分别在[13,14)和[17,18)内时，ABCDxxAxBxCxDyyAyByCyDzzAzBzCzD共有12种情况。所以基本事件总数为21种，事件“||1mn−”所包含的基本事件个数有12种。∴P(||1mn−)742112==。20、某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y(万吨)与x的函数关系为*2(0,116,)ypxpxx=≤≤∈N，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨。(1)试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M(万吨)与x的函数关系式；(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围。【答案】(1)1010Mmxxx=−−+，(*116,xx≤≤∈N)；(2)71924m≤≤。【解析】(1)由条件得20242100pp=⋅⇒=，所以*10(116,)yxxx=≤≤∈N1010Mmxxx=−−+，(*116,xx≤≤∈N)。(2)因为030M≤≤，所以()*10100116,101030mxxxxxmxxx+−−≥≤≤∈+−−≤N恒成立()*10101116,20101mxxxxmxx≥−++⇒≤≤∈≤++N恒成立设1tx=，则：114t≤≤221010111420101mtttmtt≥−++⇒≤≤≤++恒成立，由221711010110()1224mtttt≥−++=−−+≤≤恒成立得72m≥(4x=时取等号)212010114mttt≤++≤≤恒成立得194m≤(16x=时取等号)所以71924m≤≤21、为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，其测量数据的茎叶图如下：规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品。(1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；(2)现从乙厂抽出的非