结构力学(龙驭球)第5章-虚功原理与结构位移计算

结构力学第五章虚功原理与结构位移计算结构力学第五章虚功原理与结构位移计算§5-2结构位移计算的一般公式§5-3荷载作用下位移的计算§5-4荷载作用下位移的计算举例§5-5图乘法§5-8互等定理§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移§5-7变形体的虚功原理§5-6温度作用时位移的计算结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的目的：（1）验算结构的刚度（2）为超静定结构内力分析打基础产生位移的原因:（3）制作沉降和制造误差C1ABCab（2）温度变化和材料收缩dsAB1tC2tC（1）荷载作用ABqCC′B结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移C1ABCab结构内产生位移的同时是否会产生应变呢？（1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部不产生内力，所以不会产生应变。dsAB1tC2tC刚体体系位移----有位移，无应变结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移（2）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生曲率和应变。ABqCC′B变形体体系位移----有位移，有应变结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算问题：几何问题------------几何方法ABqCC′BC1ABCabCab221dxwdRk结构力学结构的位移ABqCC′BCCxC′CyCxC结构的位移PC---C点的竖向位移CC---截面B的转角BCx---C的水平位移Cy---C点的竖向位移C---截面C的转角△Cy结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：（1）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。--------刚体体系的位移计算（2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。--------变形体体系位移计算（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。--------叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：（1）化整为零：局部变形引起的位移。（2）积零为整：叠加原理局部变形位移计算公式整体变形位移计算公式结构力学§5-1应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算的基本假定和理论基础线弹性变形体系基本假定:位移与荷载成正比条件:线弹性材料小变形叠加原理适用理论基础:虚功原理计算方法:单位荷载法结构力学刚体体系的虚功原理处于受力平衡状态的刚体，当发生符合约束条件的无限小刚体体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。0eiiWF虚功力的状态位移状态一个平衡力系虚设一个位移状态确定真实的未知力虚设一个平衡力系确定真实的位移虚位移原理虚力原理结构力学刚体体系的虚功原理虚力原理虚平衡力系真实位移10APRc确定C点的竖向位移1ARcPARbPa1bcaC1ABCabABCPAbRPaABC1ab假设的力方向和位移相反结构力学支座移动时位移的计算ABCDBC4l34lABDC1Pl?54014B点发生支座移动，求由此引起的C点竖向位移由支座移动引起的真实位移虚设力系在待求位移点沿位移方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23由虚功原理列虚功方程10KKRcKKRc55()()44BBcc支座移动时的位移计算公式结构力学支座移动时位移的计算支座移动时，静定结构的位移计算步骤：在待求位移点沿位移方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程10KKRcKKRc支座移动时的位移计算公式计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。结构力学河南理工大学支座移动时的位移计算确定B支座的水平位移和B截面的转角例ABlBah()结构力学支座移动时的位移计算ABlBahhlhl1P1AB1l1l01MAB确定B截面的转角确定B支座的水平位移()()KKhhaRcall()1()KKRcal（）结构力学§5-2结构位移计算的一般公式结构位移计算一般属于变形体体系的位移计算。变形体体系的位移计算步骤：先计算局部变形时的位移计算公式，再导出整体变形时的位移计算公式。1、局部变形时静定结构的位移计算举例当某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用虚力原理计算。由于制造误差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。结构力学§5-2结构位移计算的一般公式局部弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。例1、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ，求A点竖向位移。BCaaAΔθaM101MMBCAΔθ位移状态BACM1虚设力系结构力学§5-2结构位移计算的一般公式局部剪切变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移η，求A点竖向位移。BCAηBCAθ位移状态ηBAC1虚设力系QF1QF01QFQF结构力学§5-2结构位移计算的一般公式2、局部变形时位移计算公式位移状态BCAdηαCdΔdλdθBAC1虚设力系QFαMNF悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他部分没有变形。微段ds局部变形包括：局部伸长应变ε平均切应变γ0轴线曲率κ0,,k结构力学§5-2结构位移计算的一般公式位移状态BCAdηαCdΔdλdθ（1）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三种相对位移：kdsRdsddsddsd0相对轴向位移：相对剪切位移：相对转角位移：相对位移是描述微段总变形的三个基本参数。ddd,,结构力学§5-2结构位移计算的一般公式位移状态BCAdηαCdΔdλdθ（2）将微段变形集中化，即ds0，但三种相对位移仍存在。B截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。问题转化为刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移求A点位移。叠加法：ddd,,dFdFdMdQN结构力学§5-2结构位移计算的一般公式（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移求A点位移。叠加法：ddd,,dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0kdsRdsddsddsd0结构力学§5-2结构位移计算的一般公式dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0或者：dsFFkMdFdFdMdQNQN)(10即变形体系的虚功原理QNFFM,,分别为虚设单位荷载在截面B引起的弯矩，轴力和剪力。结构力学§5-2结构位移计算的一般公式3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式整个结构的位移是结构各个微段变形的总和。叠加原理：dsFFkMdQN)(0dsFFkMdQN)(0若整个结构有若干个杆件组成：结构力学§5-2结构位移计算的一般公式3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移：kRKQNcFdsFFkMd)(0dsFFkMdcFQNkRK)(10适用条件：小变形位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。外虚功内虚功结构力学§5-2结构位移计算的一般公式公式的普遍性：（1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；（2）变形因素：荷载、支座移动；（3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；（4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。kRKQNcFdsFFkMd)(0结构力学§5-2结构位移计算的一般公式kRKQNcFdsFFkMd)(0弯曲变形：拉伸变形：剪切变形：支座移动：kdsMkdsFNdsFQ0kRKccF结构力学§5-2结构位移计算的一般公式4、结构位移计算的一般步骤：kRKQNcFdsFFkMd)(0已知结构各个微段的应变κ、ε、γ0和支座位移ck，求结构某点沿某方向的位移Δ：（1）在某点沿拟求位移Δ方向虚设相应单位荷载；（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。MQFNF结构力学§5-2结构位移计算的一般公式kRKQNcFdsFFkMd)(0kRkQNcFFFkM,,,0表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。和k使纤维同侧受拉时乘积为正。MkM结构力学虚功WP力和位移无因果关系广义力广义位移PABCPMABCPMFp1Fp212△11△22AB对应结构力学广义位移和广义力广义位移:某点线位移，某点角位移，某两个截面的相对线位移和角位移Δ=θA+θB---A、B点左右两侧截面间的相对转角MBMAABqθAθBΔC)(11BABBAAMM---一对单位力偶1BAMM广义力：与广义位移相对应的荷载结构力学广义位移和广义力广义力和广义位移PPABAB12ABPPMM121212PPPP---一对水平力力P---A、B间的水平相对位移AB12M---一对力偶---C点左右两侧截面间的相对转角1212MMPM结构力学广义位移和广义力虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功角度讲：FWF------------共轭力Δ-----------共轭位移表5-1广义位移和广义荷载示例结构力学§5-3荷载作用下的位移计算荷载-------内力--------应力---------应变NPFEA0QPFkGAPMEIBAadsPq1Rk1Rkdddsddsdds0ddsddsNPFNPFQPFQPFPMPM结构力学§5-3荷载作用下的位移计算QPNPPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEIBNQAFdFdMd1、荷载引起的位移计算公式BAadsPqNPFEA0QPFkGAPMEIdds0ddsdds结构力学§5-3荷载作用下的位移计算,,NQFFM---由单位荷载P=1引起的内力,,NPQPPFFM---结构承受的真实荷载引起的内力（1）写出各杆件在真实荷载作用下的Mp、FQp和FNp方程；（2）写出各杆件在虚设单位下的M、FQ和FN方程；（3）用上述公式计算位移；QPNPPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI（4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，和MP使杆件同侧受拉为正；M结构力学§5-3荷载作用下的位移计算（1）梁和刚架：（2）桁架：（3）桁架混合结构：QPNPPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI（4）拱，当压力线与拱轴接近时：dsEIMMPlEAFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPNlEAFFdsEIMMNPNPdsEAFFEIMMNPNP)(结构力学§5-3荷载作用下的位移计算例x2qlMP图28ql2ql2qlFQP图xl/2l/2ABCP=11212确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起的效应。2qlABqCl/2l/22()2PqMlxx(2)2QPqFlx14M1212QF12Mx12QF真实力系虚设力系24201()()5222384lPMqxlxxMMqldsdxEIEIEI2201()(