高考概率与统计常见题型与解法

-1-高考概率与统计常见题型与解法题型一几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.1、等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m个，那么P（A）=nm。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例题1（2010湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）(Ⅰ)求x,y;（Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。解(Ⅰ)由题意可得2183654xy所以1,3xy，（Ⅱ）记从高校B中抽取的2人为12,bb，从高校C中抽取的3人为123,,CCC则从高校B、C-2-抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（12,bb），（11,bc），（12,bc），（23,bc），（21,bc），（22,bc），（23,bc），12(,)CC，13(,)CC，23(,)CC共10种，设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有12(,)CC，13(,)CC，23(,)CC共3种，因此3()10pX故选中的2人都来自高校C的概率为310变式1（2010江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列为：X1052[来源:学科网ZXXK]-3P0.720.180.080.02（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4n件。由题设知4(4)10nn，解得145n，又nN，得3n，或4n。所求概率为33440.80.20.80.8192PC答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。变式2（2010福建）设平面向量am=（m，1），bn=（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）-3-请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得am⊥（am－bn）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.解：(Ⅰ)有序数组（m,n）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共16个.(Ⅱ)由()mmnaab得221mmno，即2(1)nm.由于,mn｛1,2,3,4｝，故事件A包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个.又基本事件的总数为16，故所求的概率21()168PA.2、互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式)()()(BPAPBAP计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为BA。用概率的法公式BPAPBAP计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即AB或BA。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式_1APAP计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例题1（2005全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分-4-则A、B、C相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴ABC、、相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3PABCPAPBPC……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7pPABC……12分变式1（2005福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则.53)(,21)(,52)(,21)(BPAPBPAP甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为100953532121P∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.10091100911PP答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091-5-∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为BABA13121()()().25252PABABPABPAB变式2（06四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件1A；“乙理论考核合格”为事件2A；“丙理论考核合格”为事件3A；记iA为iA的对立事件，1,2,3i；记“甲实验考核合格”为事件1B；“乙实验考核合格”为事件2B；“丙实验考核合格”为事件3B；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件解法1：123123123123PCPAAAAAAAAAAAA123123123123PAAAPAAAPAAAPAAA0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.70.902解法2：1PCPC1231231231231PAAAAAAAAAAAA1231231231231PAAAPAAAPAAAPAAA10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.710.0980.902所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D112233PDPABABAB-6-112233PABPABPAB112233PAPBPAPBPAPB0.90.80.80.80.70.90.2540160.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.2543、独立重复试验概率若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立惩处试验中，事件A恰好发生k次的概率为1nkkknnPkCPP。高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例题（2005湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p需要更换2只灯泡的概率为;)1(213125ppC-7-（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为);1()1(2121pppp（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为415pC（1-p），故至少换4只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).1(45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当ppppppCpp变式1为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.解记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件iA，iB，iC，1i，2，3．由题意知1A，2A，3A相互独立，1B，2B，3B相互独立，1C，2C，3C相互独立，iA，jB，kC（i，j，k1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且1()2iPA，1()3iPB，1()6iPC．（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P1231233!()6()()()PABCPAPBPC111162366-8-（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率1231()PPBBB1231()()()PBPBPB31191(1)327．变式2(08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p，且乙投球2次均未命中的概率为161．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率