最新一元函数极值的求解方法

最新一元函数极值的求解方法(一)、一元函数极值定义定义1设函数)(xf在0x的某个邻域有定义，对于这个邻域之内任一不同于0x的点x，如果对0x该邻域的所有的点,(1)、都有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极小值，点0x为函数)(xf的一个极小值点。(2)、都有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xf的一个极大值，点0x为函数)(xf的一个极大值点;极值为极大值和极小值的统称，极值点为极大值点和极小值点的统称。(二)、一元函数极值的充分必要条件函数的极值不只在实际具体问题中占有非常重要的地位，还是函数性态的一个重要特征。1、一元函数极值的必要条件费马定理告诉我们，若函数f在点0x可导，且0x为f的极值点，则0)('0xf。这就是说可导函数在点0x取极值的必要条件是0)('0xf。下面讨论充分条件。2、极值的第一充分条件定理1设f在点0x处连续，在某一邻域）（;U0x内可导。(1)、若当）（00,xxx时0)('0xf，当）（00,xxx时0)('0xf，则函数f在点0x取得极小值。(2)、若当）（00,xxx时0)('0xf，当）（00,xxx时0)('0xf，则函数f在点0x取得极大值。(3)、如果在0x点的邻域内，)('0xf不变号，则函数f在点0x没有极值，即0x不是)(xf的极值点。证：由单调函数的增减性充要条件，)(xf在区间I上可导，)(xf在I上增（减）的充要条件是）（00)('xf则对于①：f在）（00,xxx内递减，在）（00,xxx内递增，又由f在0x处连续，故对任意);(U0xx，恒有)()(0xfxf即f在0x处取得极小值。同理，对于②，f在0x处取得极大值；对于③，由于在0x点的邻域内)('0xf不变号，故对任意);(U0xx，不能恒有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），即不能判定f在0x处取得极小值（或极大值），也就是说函数f在点0x没有极值，0x不是)(xf的极值点。若函数f是二阶可导函数，则有如下辨别极值定理。3、极值的第二充分条件定理2设f在0x的某一邻域);(U0x内一阶可导，在0xx处二阶可导，且0)('0xf,0)(0xf。(1)若0)(0xf，则函数f在点0x取得极小值。(2)若0)(0xf，则函数f在点0x取得极大值。证：由条件，可得f在0x处的二阶泰勒公式))(())((!21))((')()(20200000xxoxxxfxxxfxfxf由于0)('0xf，因此2000))](1()(21[)()(xxoxfxfxf(1)又因0)(0xf，故存在正数'，当)';(U0xx时，)(210xf与)1()(210oxf同号。所以，当0)(0xf，(1)式取负值，从而对任意)';(U0xx有0)()(0xfxf即f在0x处取极大值。同样对0)(0xf，可得f在0x处取极小值。对于应用二阶导数无法判断的问题，可借助更高阶的导数来判断。4、极值的第三充分条件定理3设f在0x的某一邻域内存在直到1n阶导函数，在0x处n阶可导，且0)(0)(xfk)1,,2,1(nk，0)(0)(xfn，则（1）、当n为偶数时，函数f在点0x取到极值，且当0)(0)(xfn时取极大值，0)(0)(xfn时取极小值。（2）、当n为奇数时，函数f在点0x不取极值。（三）、一元函数极值的求解方法一元函数极值的求解步骤如下：（1）、确定函数)(xf的定义域；（2）、求出)('xf，并在定义域内求)(xf的全部驻点和不可导点（可能极值点）；（3）、可利用定理l或2判定驻点，驻点左右邻近的符号可以考查导函数，确定是否是函数的极值点，如果是，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）、求函数各极值点的函数值，得到函数的极值。例1求函数4323)(xxxf的极值解：易得)(xf的定义域为)(，，4323)(xxxf在)(，上连续，有)89(89)(232'xxxxxf)43(62418)(22''xxxxxf解0)('xf，得稳定点01x，892x又0)0()0(')0(fff,因此01x不是函数的极值点。0)89('f，08111)89(''f。由定理2可知，892x是函数的极大值点,故函数的极大值为2048218743)89()89(3f，无极小值。例2求3252)(xxxf）（的极值点和极值解：易得)(xf的定义域为)(，，3235325252)(xxxxxf）（在)(，上连续，且当0x时，有331321310310310)('xxxxxf显而易见，1x为f的稳定点，0x为f的不可导点。根据定理1判断这两点是否是极值点，如下列表（表中↗表示递增，↘表示递减）：x)0(，0（0,1）1)1(，'y+不存在－0+y↗0↘－3↗则由上表可见：点0x为f的极大值点，极大值为0)0(f;点1x为f的极小值点，极大值为3)1(f。例3有一个八尺深的方窖在厨房屋角，现要利用窖的两壁拦一角来做一个煤仓形状为长方体，它的容量是288立方尺，问如何做能最省材料。解设仓库宽为x尺(0)x，长为y尺(0)y，则容量是8288xy，因为0x，0y，这是一个关于两个正数的函数问题，且36xy，两正数之积为一定数，故当xy时，其和有极值，即6x，6y时，yx最小。如果用S代表所用材料的面积，则S=8x+y，当6x，6y时，S最小最省材料。例4求函数432)(xxxf的极值。解：由于432)(xxxf，则),23(246)(232'xxxxxf由0)23(246)(232'xxxxxf。得稳定为23,021xx。),1(121212)(2''xxxxxf从而,09)23(''f故23是)(xf的极大值点，极大值是1627)23(f。0)0(''f，但当不是极值点。，所以时，当时，00)()23,0(,0)()0,(''xxfxxfx例5求函数34)1()(xxxf的极值。解：)47()1()('23xxxxf，解0)('xf得74,1,0x是函数的三个稳定点。函数f的二阶导函数为)287)(1(6)(22xxxxxf。则0)1()0(ff，0)74(f，由定理3可知，)(xf在74x时取得极小值。其极小值为823543691217474)74(34）（）（f函数f的三阶导函数为)4306035(6)('23xxxxxf。则0)0('f，0)1('f。由于3n是奇数，有定理3可知，f在1x不取极值函数f的四阶导函数为)1154535(24)(23)4(xxxxf,则0)0()4(f，4n是偶数，有定理3可知，f在0x取极大值综上所述，可知函数0)0(f为极大值，8235436912)74(f为极小值。