论文函数的极值问题在实际中的应用资料

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数()fx在0x点处可导，且在0x处取得极值，那么()0fx。使导数为零的点，即为函数()fx的驻点，可导函数()fx的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。定理2（极值的第一充分条件）设f在0x连续，在某领域0(;)Ux内可导。（1）若当00(,)xxx时()0fx，当00(,)xxx时()0fx，则f在点0x取得最小值。（2）若当00(,)xxx时()0fx，当00(,)xxx时()0fx，则f在点0x取得最大值。定理3（极值的第二充分条件）设f在0x连续，在某领域0(;)Ux内可导，在0xx处二阶可导，在0xx处二阶可导，且()0fx，0()0fx。（1）若0()0fx，则f在0x取得极大值。（2）若0()0fx，则f在0x取得极小值。由连续函数在[,]ab上的性质，若函数f在[,]ab上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数()fx的导数()fx；（2）令()0fx，求出()fx在(,)ab内的驻点和导数()fx不存在的点012,,,...,nxxxxx；（3）计算函数值2(),...,(),(),()nfxfxfafb；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是()fx在区间[,]ab上的最大值，最小者就是()fx在闭区间[,]ab上的最小值。2、多元函数极值的判定在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。定义设函数(,)zfxy的定义域为D。000(,)Pxy为D的内点。若存在0P的某个邻域00()UPD，使得对于该邻域异于0P的任何内点(,)xy，都有00(,)(,)fxyfxy则称函数(,)fxy在点00(,)xy，点00(,)xy称为函数(,)fxy的极大值点；若对于该领域内异于0P的任何点(,)xy，都有00(,)(,)fxyfxy则称函数(,)fxy在点00(,)xy有极小值00(,)fxy，点00(,)xy称为函数(,)fxy的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数，设n元函数()ufP的定义域为D。0P为D的内点，若存在0P的某个领域0()UPD，使得该邻域内异于0P的任何点P，都有0()()fPfP（或0()()fPfP）则称函数()fP在点0P有极大值（或极小值）0()fP。二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。定理1（必要条件）设函数(,)zfxy在点00(,)xy具有偏导数，且在点00(,)xy处有极值，则有0000(,)0,(,)0xyfxyfxy怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又0000(,)0,(,)0xyfxyfxy，令000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC则(,)fxy在00(,)xy处是否取得极值的条件如下：（1）20ACB时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）20ACB时没有极值。对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法要找函数(,)zfxy在附加条件(,)0xy下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数(,)(,)(,)Lxyfxyxy其中为参数，求其对x与y的一阶偏导数并使之为零，然后与方程（2）联立起来：(,)(,)0(,)(,)0(,)0xxyyfxyxyfxyxyxy由这方程组解出,xy及，这样得到的(,)xy就是函数(,)fxy在附加条件(,)0xy下的可能极值点。这方法还可以推广到自变量多于两个条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来确定。有了上面的基础，下面将重点介绍函数的极值问题在实际中的应用。二、函数极值问题的应用在实际问题中为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定条件下，提高生产效率，降低成本，节省原材料，解决这一类问题，就需要用到函数的最大值最小值知识，这一节讲重点看一些这方面的例子。1、合理密植设每亩中50株葡萄藤，每株葡萄藤将产出75kg葡萄，若每亩再多种一株葡萄藤（最多20株），每株产量平均下降1kg。试问每亩种多少株葡萄藤才能使产量达到最高？解：设每株多种x株，则产量为()(50)(75),020fxxxx问题归结为求目标函数()fx在[0,20]上的最大值()252fxx令()0fx，解得12.5x()20fx由二阶微商检验法，当12.5x时，()fx有极大值，而12.5x是[0,20]内唯一极大值点，根据实际，取整体株13x时，()fx取得最大值，即每亩种501363株时，产量可达最高(13)3906()fkg。2、环境污染某经济开发区的项目建设，对释放到空气中的污染要进行控制，设对污染的测定要求与污染源的距离至少要1km，在污染源相对集中的情况下，空气受污染的成都与释放的污染量成正比，与到污染源的距离成反比（设比例系数为1），先有两个相距10km的工厂区A与B，分别释放的污染为60/gmL与240/gmL，若想在A，B间建造一个居民小区，试问居民小区建在何处所受污染最小？解：设x为居民小区受到污染最小时到工厂区A的距离，居民小区受工厂区A的污染为60x，居民小区受工厂区B的污染为24010x，居民小区受到的总污染为P，这就是要寻找的目标函数60240(),[1,9]10Pxxxx2260240()(10)Pxxx，令()0Px即22602400(10)xx解得1210,10([1,9],)3xx舍去[1,9]再与区间[1,9]的端点1,9xx的值作比较，得1060240()54(/)101031033pgmL（最小）60200(1)87(/)19pgmL60240(9)247(/)9109pgmL居民小区建在离工厂区103Akm处所受污染最小。3、用料最省市场上装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成顶盖的厚度是罐身厚度的3倍。以容积为V的易拉罐为例，问如何设计一拉罐的底面直径和高才能使用料最省？解：记易拉罐的容积350Vml（常数）设罐身的厚度为，顶盖为3，底面直径为d，高24()2VVhdd，于是，罐身用料（体积）为2214()[()]()24ddVfddhd顶盖用料（体积）为2223()3()24dfdd易拉罐的用料2124()()()(),0Vfdfdfdddd因此，问题化为求目标函数24()()Vfddd在(0,)内的最小值。对()fd求微商，得24()(2)Vfddd令()0fd得32Vd是()fd在(0,)内的惟一驻点。这是实际问题。最小值肯定存在，因此33223506.06Vdcm是()Fd的最小值点。而高2344212.12VVdhdcmdd。4、最快速度设一辆水陆两用汽艇在水上的速度为1(/)vkmh，在陆地上的速度为2(/)vkmh。现因需要，要求汽艇最快地从水中的A的到达陆地上的B点（图），试问两用汽艇应按怎样的路线走？解：由常识知道，汽艇在水中或陆地上都应该走直线，所以，汽艇实际走的路程为两直线组成的折线APPB，如图3所示，汽艇的行驶时间为22221212()(),0hxhlxTXxlvv。问题归结为求()TX在[0,1]上的最小值，即x满足什么条件，()TX取得最小值。对()TX求微商，得22221122()()xlxTXvhxvhlx由于221233222212221211()0,0()[()]hhTXxlvvhxhlx可知()Tx在(0,)l内的零点0x必为()TX的极小值点，从而是()TX在[0,]l上的最小值点。0x满足()0Tx，即002222110220()xlxvhxvhlx记0012222210220sin,sin()xlxhxvhlx，则1212sinsinvv如果将汽艇换成一束光线，水与陆地换成两种不同的介质，这就是光学中著名的折射定律，其中12,，分别是光线的入射角与折射角。定律告诉我们：光线总是沿着最省时间的路线传播的。5、库存—成本模型库存成本模型是存贮论的一个确定性模型，而存贮论则是运筹学的一个分支。工厂要保证生产，需要定期的订购各种原材料存在仓库里，大公司也需要成批的购进各种商品，放在库房里以备销售，不论是原材料还是商品，都遇到一个库存多少的问题，库存太多，库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多进货次数，这样一来，定货费高了，因此，必须研究如何合理地安排进货的批量、次数，才能使总费用（库存费+定货费）最省的问题。这里讨论的模型是：需求恒定，不允许缺货，要成批进货，且只考虑库存费与定货两种费用。由于在每一进货周期内，都是初始时进货，即货物的初始库存量等于每批的进货量x，以后均匀消耗，在周期末存量为0，故平均库存量为2x。为了弄清库存-成本模型的运作过程，下面举一例。例A公司每月需要某种商品2500件，每件金额150元，每年每件商品的库存成本为金额的16%，每次定货费100元，试求最优批量及最底成本（即库存量与订货费之后最小）。解：设批量为(0)xx，则平均库存量为2xx（库存量）t（时间）O，订货次数为2500x。2=15016%=,212=(/2500250000=100()+250000()250000()1()0,500(500xxxxCxCxxxCxxCxxx库存费（库存量（件））（库存成本/件）订货费（定货次数）定货费次）库存成本库存量订货量从而另得件），（舍去）这是时间问题，最小值一定存在，因此，最底成本250000(500)5001000(500C元），这就是说，最优批量为每次500件，每月订货次数为25005500次，最低库存成为1000元。6、最大利润问题设某产品的成本函数和价格函数分别为22()38005,()50100100xxCxxPx决定产品的生产量，以使利润达到最大。解：销售额函数为2()()50