第9章---弹性力学变分原理

弹性力学讲义第9章弹性力学的变分原理——Chenping2008.11.18第9章弹性力学的变分原理本章主要内容——本章主要讨论弹性体的应变能,位移变分方程(Lagrange变分方程),位移变分法,应力变分方程(Castigliano变分方程),应力变分法。由位移变分方程引出极小势能原理,虚功方程,伽辽金变分方程,瑞次法。由应力变分法引出极小余能原理。第9章变分原理变分法变分问题,在数学上是求泛函的极值问题。是寻求满足边界条件的一系列偏微分方程组的一种近似解法。在弹性力学中,泛函就是能量，变分法则是通过对能量求极值来建立弹性力学中的能量原理,从而导出相应的变分方程,并利用这些变分方程求得弹性力学问题的近似解。dxdxdyLba21§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理一、函数与泛函)(xyy函数的函数)]([xyII函数xy面内两点距离),(11yxA),(22yxB(9-1)(9-2))(xfyyx§9-1变分法的预备知识一、函数与泛函曲面的表面积S),(yxzdxdyyzxzyxzSS221)],([)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv变分原理应变能密度——弹性体单位体积的应变能(9-2a)若以广义虎克定律代入，得应力分量的应变能密度dxyyxfxyIba),,()]([泛函的一般形式§9-1变分法的预备知识一、函数与泛函变分原理)])(1(21)(2)[(21222222xzyzxyxyzyyxzyxv应变能密度是应力分量的函数，而应力分量又是位置x、y、z的函数，因此，应变能密度是一个泛函。§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理二、函数的变分dxxydy)(函数的微分],[)()(baxxyxyy函数的变分(9-4)是增量的一阶小量！§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理0)(,0)()(,)(byayybyyayba)()()()()()()()(yyxyxyyxyxyy导数的变分通常函数要满足一定的边界条件,函数的变分应满足齐次边界条件二、函数的变分导数的变分等于变分的导数§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理三、泛函的变分dxyyxfxyIba),,()]([),,(yyxfyy,按照泰劳级数展开法则)(),,(),,(的高阶项及yyyyfyyfyyxfyyyyxf函数变分yyfyyff§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理三、泛函的变分bababababababadxffdxdxyyfyyfdxfIdxyyfdxyyxfdxyyyyxf)()()]([),,(),,(的高阶项及(9-5)被积函数变分泛函的变分(9-7)也是增量的一阶小量！服从无穷小量的运算法则！§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理四、泛函的极值问题=变分问题泛函取极值00)]([)]([0或xyIxyI0I必要的极值条件取极值的曲线称为泛函的极值曲线。)(0xyy002或I判别极大值或极小值(9-8)§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自然边界条件0)(,0)()(,)(byayybyyayba曲线被指定通过A,B两点，也就是y(x)具有边界条件典型的变分问题dxyyxfxyIba),,()]([由泛函的极值条件求出函数y(x)满足的方程0)(,0)()()()()(yfdxdyfIydxyfdxdyfydxyfdxdyyfdxyyfdxyyfyyfIbababababa§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自然边界条件(9-10)欧拉方程§9-1变分法的预备知识弹性力学的变分原理五、欧拉方程与自然边界条件2122,0101CxCyyydxddxyLIba求AB曲线最短时的函数0)(yfdxdyf§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理应变能的概念1.单向拉伸杆lPW21外力做功lPV21弹性体应变能单位体积应变能—应变能密度xxllAPAlVv2121静加载是线性的，没有动能与热能的变化§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理应变能的概念2.受均匀剪应力时xyxy21应变能密度3.受复杂应力状态)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv最终弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态——可采用等比例加载得到§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理热力学定律——导出应变能的表达式物体在外荷载作用下的功能转换：可逆过程——外荷载对物体所做的功全部转化为物体的动能和物体因变形引起的应变能(内能)。不可逆过程——外荷载对物体所做的功,一部分转化为物体的动能和应变能,另一部分转化为热能、声能等被耗散。弹性力学研究——可逆过程！§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理热力学定律——导出应变能的表达式弹性体在外荷载作用下的变形过程等温过程（加载极其缓慢——弹性静力学）绝热过程（加载过程很快）弹性体变形过程近似等温过程！wV(9-11)根据热力学第一定律，外载荷所做功的增量等于弹性体的应变能增量物体在某一应变状态获得的应变能增量为微元VVdsdvVutuf(9-12)§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理VV表面为，任一微元体VVdsdvuσnuf热力学定律——导出应变能的表达式§9-2应变能与余应变能弹性力学的变分原理利用高斯公式dvdvdsdvVVVV)(uσufuσnufdsAndvASVililliililililjkklijllkjjkiiuuuuu,,,,)()()()(eeeeuσ(9-12a)热力学定律——导出应变能的表达式)(uσnuσnililliililliilililliliililililuuuuuuu)(2121212121,,,,,,,弹性力学的变分原理应力张量σ的对称性§9-2应变能与余应变能ijijvεσ:εσuσuσ:)()(,ililliiludvdvdvVVVVεσεσufσ::)(应变能密度增量(11-13)(11-14)代(11-12a)热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能弹性应变能与变形过程无关，只取决于变形的最终状态，是状态函数，其增量为全微分——（能量守恒定律解释）ijijijijijvvvvv)(Green公式,适用一般材料，不局限线弹性材料(能量形式的物理方程)增量为全微分(9-15)(9-16)与(11-14)比较热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能弹性体从初始应力和应变为零的状态0，到受荷载作用发生变形后的状态1的应变能为10VV1010:εσvv)(::1010εσεσttv积分与路径无关，假设按等比例加载应变能密度为对线弹性力学热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理100:0:tttσσεε)(::1010εσεσttvijijtt21:21:10εσεσ(9-17))(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv应变能密度为弹性力学的变分原理§9-2应变能与余应变能§9-2应变能与余应变能)(21ijklijijklvEvijijEEGv1)21)(1(21:)2(212εεI各向同性材料dvdvvVVVεεσ:)(21弹性体V的应变能(9-17)(9-18)(9-19)热力学定律——导出应变能的表达式弹性力学的变分原理根据物理方程§9-2应变能与余应变能余应变能1.单向拉伸dv)(0dvc)(0应变能密度余应变能密度21ccvvvv线弹性材料(9-20)(9-21)(9-22)(9-23)弹性力学的变分原理2.复杂应力状态§9-2应变能与余应变能余应变能ijijccvvvεσσε::0线弹性材料ijijcvv21:21εσdvdvvVVVcc)(:21σεσ弹性体V的余应变能(9-24)(9-25)弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理广义虚功原理虚位移原理虚应力原理最小势能原理最小余能原理广义势能变分原理广义余能变分原理平衡方程和应力边界条件几何方程和位移边界条件拉格朗日乘子应变能密度余能密度应力应变关系应力应变关系0cJJ0cJ0J03J02J（为自变函数）ijiu,（为自变函数）ijijiu,,广义虚功原理uiiijjiijSxuuVxuu)(21,,变形可能的位移——简称为容许位移变形可能的应变——简称为容许应变iiiuuftSuSSSS,,,静力可能的应力,简称为容许应力SxtnVxfijijijij0,不一定是真实的，但真实的一定在其中！弹性力学的变分原理弹性体V满足连续性条件满足平衡性条件可能功原理：外力在容许位移上做的功等于静力可能的应力在容许应变上做的功。VijkijsSkiiVkiidvdsutdvuf(9-29)证明：VijkijsSikiVjikijsSikjijsVikjijsVikidvdsutdvudsundvudvuf,,广义虚功方程广义虚功原理弹性力学的变分原理ij满足平衡方程广义虚功原理jiijijijuu,,uσdsAndvASV利用高斯公式dsnAdvAjSijVjij,SikjijsVVjikijsikjijsdsundvudvu,,jiijijijuu,,uσjiijijijjljlljjlijiljlijlijljiiljljilijlljjliilkljjkiillkjjkiiuuuuuueeueeuueeueeueeee,,,,,,,,σσσσσσσσσuσ可能功原理——广义虚功方程的特性1.适用于任何性质的材料；2.广义虚功方程中的位移、应变与应力是同一弹性体的两种不同的变形状态和受力状态,二者彼此独立；3.对任意容许位移和容许应变,使广义虚功方程成立的函数必是静力可能的应力；4.如果对任意静力可能的应力,满足广义虚功方程的位移函数和应变必是变形可能的位移和应变。ijkiku,弹性力学的变分原理VijkijsSkiiVkiidvdsutdvuf变形可能广义虚功方程成立ijk静力可能广义虚功原理VikjijSikjijSikiVjikijSiiSikiVijkijSikiVikidvudsundsutdvudsutdsutdvdsutdvufu,,