高等数学微分方程的基本概念教学ppt

NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念1第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节可降阶的高阶微分方程第四节二阶线性微分方程解的结构第五节二阶常系数线性齐次微分方程NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念2第一节微分方程的基本概念一.问题引入二.微分方程的定义本节主要内容:三.求微分方程的解NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念3在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念4例1一曲线过点(0,0)，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程．解设所求曲线的方程为y=y(x)(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的斜率为y′,依题意有：两边积分，得313yxC(2)2'yx(1)一、问题引入NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念5上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即331xy将(3)式代入(2)式，得C=0，所以x=0时，y=0(3)为所求的曲线方程．NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念6例2一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体下落时的重力加速度是g，求物体下落的位置与时间之间的函数关系。解设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用,故物体所受之力为F=mg，NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念722ddsat,所以及加速度又根据牛顿第二定律，F=ma22d,dsmmgt22ddsgt即(5)NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念8两端积分得1ddsgtCt(6)现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式21212sgtCCd0,0dssvt由题意知t=0时，(8)这里C1，C2都是任意的常数．(7)再两端积分，得NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念9C1=0,C2=0.故(7)式为把(8)式分别代入(6)，(7)式，得212sgt(9)这就是初速度为0的物体垂直下落时距离s与时间t之间的函数关系．NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念10微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy,32xeyyy,0)(2xdxdtxt实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义20,0yxyxdyydx2231yyyxNanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念11分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.都是常微分方程；如y′=x2,y′+xy2=0,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为常微分方程。(4)4'4xyyyxeNanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念12就是偏微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数如2222220uuuxyz本章我们只介绍常微分方程。NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念13微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.222d,''2'31dsgyyyxt都是二阶微分方程.都是一阶微分方程；如y′=x2,y′+xy2=0,xdy+ydx=0(4)4'4xyyyxe是四阶微分方程；…等等．二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念14分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程一阶微分方程,0),,(yyxF);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfyNanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念15微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.三、主要问题——求方程的解含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意常数相互独立．独立的任意常数的个数=微分方程的阶数NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念16不能合并的，即C1，C2是相互独立的．例如y=C1x+C2x+1与y=Cx+1(C1,C2，C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，因此y=C1x+C2x+1中的C1，C2是不独立的；而中的任意常数C1，C2是21212sgtCCNanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念17,yy例;xcey通解,0yy;cossin21xcxcy通解(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:确定任意常数取固定值的条件.NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念18解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念19二阶微分方程的定解条件通常是x=x0时，y=y0、y′=y′0或写成00''xxyy00xxyy或本章讨论的一阶微分方程，f(x,y)表示x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0或写成(,)yfxy0xxyNanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念20把y和y″代入微分方程左端得12'sincosyCxCx12''cossinyCxCx1212''cossincossin0yyCxCxCxCx解12cossinyCxCx又例3验证是微分方程的通解．并求此方程满足初始条件12cossinyCxCx0yy()1,()144yy的特解。NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念21''0yy12sincosyCxCx是该微分方程的通解.是二阶的，所以方程()1,()144yy代入初始条件得12212212222122CCCC中含有两个独立的常数，而NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念22122,0CC2cosyx是该微分方程的特解.所以故NanjingCollegeofInformationandTechnology第六章常微分方程第一节微分方程的基本概念2323内容小结本节基本概念：微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解，初始条件；特解；初值问题；积分曲线．