第四章导热问题(一维导热问题)

第四章导热问题第四章导热问题———研究导热问题的目的4.1研究导热问题的目的建立了描述热工过程的基本方程实现了计算区域和控制方程的离散化得到了时空离散点所应满足的方程，即差分方程本课程的目标：利用计算的方法获得热工过程的数值解存在一些问题有待解决第四章导热问题———研究导热问题的目的尚待解决的问题边界问题源项负线化问题差分方程如何求解问题正系数问题不论什么过程的数值计算中，均存在这些问题有对流过程的数值计算中存在正系数问题，无对流过程则没有正系数问题。鉴于一些问题与对流有关，因此本着循序渐进的原则，先不考虑对流，在简单过程中先来认识前三类问题如何解决。第四章导热问题———研究导热问题的目的S)x(xxutjjjjS)x(xtjj不考虑对流典型导热问题的控制方程基于导热问题的数值计算，来认识如何处理边条及实现源项负线化和差分方程求解第四章导热问题———一维稳态导热4.2一维稳态导热0S)dxdTk(dxdw)x(e)x(e)x(e)x(xWPEwebTaTaTaWWEEPP4.2.1基本方程与差分方程第四章导热问题———一维稳态导热其中，eeE)x(ka)x(kaxSaaapWEPxSbcPpcTSSS第四章导热问题———一维稳态导热4.2.2四项基本准则验证1通量准则eeee)dxdT(k)dxdTk(qEwEwEwEw)dxdT(k)dxdTk(qEweqq通量准则Ewek,kEwe)dxdT(,)dxdT(第四章导热问题———一维稳态导热假定节点之间的导热系数是线性分布的EePeEeePeeeePEPEwekfk)f1(k)x()x(k))x()x(1()x()x(kkkkkePEeEw)x(TT)dxdT()dxdT(eee)x()x(f其中第四章导热问题———一维稳态导热假定节点间导热系数是阶梯型分布eT设界面上的温度为kPEekEkPeePPe)x(TTkqeEeEEw)x(TTkqEweqqEePeEPek)x(k)x(TTq第四章导热问题———一维稳态导热EePeEPek)x(k)x(TTqeeEPek)x(TTqEePeeek)x(k)x(k)x(EePeek)f1(kfk11EePee)k)f1(kf(kEPEPekkkk2k5.0fe第四章导热问题———一维稳态导热EePeEPek)x(k)x(TTqeePPe)x(TTkqeEeEEw)x(TTkqPeEePeEEeEePePek)x(k)x(k)x(Tk)x(k)x(k)x(TT第四章导热问题———一维稳态导热导热系数两种取法的比较极端情况：即一端是绝热材料0kE算术平均调和平均Peek)f1(k0ke0qe0qe不合理合理第四章导热问题———一维稳态导热PEkk算术平均调和平均EeekfkePefkkeEpEeexTTkfq合理eEpePexTTfkq??第四章导热问题———一维稳态导热eePPe)x(TTkq实际上eEPP)x(TTkeEPeeP)x(TT)x()x(keEPeP)x(TTfk第四章导热问题———一维稳态导热因此，用调和平均的方法来计算控制容积界面上的导热系数要合理一些，特别是存在不同材质的导热时。基于调和平均，前边给出的差分方程中东西两个系数可用以下两个表达式来求解1EePeE]k)x(k)x([a1P]k)x(k)x([a第四章导热问题———一维稳态导热2源项负线化源项负线化的目的源项负线化的目的就是尽可能的把源项的影响通过中心节点温度的系数反映出来源项线化线化系数为负bTaTaTaWWEEPPPpcTSSSxSaaapWEPxSbc0Sp第四章导热问题———一维稳态导热源项负线化的方法PpcTSSSS1nTSSSnPpc0cS,cSpc0cS,cSpc)T(SS)T(SSppppcc)T(SS)T(SS*Ppp*Pcc第四章导热问题———一维稳态导热源项负线化的方法示例例1：PT45S4S5Spc0ST45Sp*Pc11ST75Sp*Pc2ST25Sp*Pc自然法懒汉法夸大法缩小法第四章导热问题———一维稳态导热源项负线化的方法示例例2：7S3Spc0ST73Sp*Pc2ST93Sp*Pc自然法不可取懒汉法可取夸大法可用PT73S第四章导热问题———一维稳态导热源项负线化的方法示例例3：2*PpcT5S4S*3cPpS45TS0*3cP*2pPS420TS25T自然法可接受懒汉法可取夸大法可用3PT54S2*Pp3*PcT15ST104S切线法最佳第四章导热问题———一维稳态导热3正系数准则bTaTaTaWWEEPPxSaaapWEP0]k)x(k)x([a1EePeE0]k)x(k)x([a1P0aP0Sp?0aP第四章导热问题———一维稳态导热4相邻系数之和bTaTaTaWWEEPPxSaaapWEP中心节点系数相邻节点系数PaWEa,aWEPaaa不考虑源项满足相邻系数之和准则第四章导热问题———一维稳态导热4.2.3边界条件1外节点法网格系统(先节点后界面)x第四章导热问题———一维稳态导热由上可见，在外节点法网格系统中，边界节点包含在半个控制容积内。以西边界为例，示于下图xPBEbeb)x(第四章导热问题———一维稳态导热第一类边界条件已知BBTTbTaTaTaWWEEPPBWTTbTaTaTaBBEEPP紧邻边界的第一个内节点的差分方程bTaTaTaBBEEPP已知或可见，边界条件已经进入紧邻边界的第一个内节点，因此，无需通过边界节点的半个控制容积引入边界条件无需补充任何关于边界的方程第四章导热问题———一维稳态导热第二类和第三类边界条件bTaTaTaBBEEPP这种情况下边界上的温度并不知道，而节点P控制容积的差分方程又需要边界上的，所以须在边界上的半个控制容积内对控制方程进行积分。以得到关于边界点温度的补充方程。0dx)TSS(dx)dxdTk(dxdbBBPcbB第四章导热问题———一维稳态导热0x)TSS()dxdTk()dxdTk(BPcBb0x)TSS(q)x(TTkBPcBbBPb(i)第二类边界条件已知BqBcPbbBPbbqxST)x(kT)xS)x(k(第四章导热问题———一维稳态导热bTaTaPPBBbbP)x(kaBcqxSbxSaaPPB第四章导热问题———一维稳态导热(ii)第三类边界条件)TT(qBfB0x)TSS(q)x(TTkBPcBbBPbbTaTaPPBBbbP)x(kafcTxSbxSaaPEB第四章导热问题———一维稳态导热外节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式bTaTaPPBB其中bbP)x(kax)SS(bad,ccx)SS(aaad,pPPBad,cSad,pS和为附加源项第四章导热问题———一维稳态导热对第一类边界条件given,B30ad,cT10S30ad,p10S对第二类边界条件xqSBad,c0Sad,p对第三类边界条件xTSfad,cxSad,p第四章导热问题———一维稳态导热2内节点法网格系统(先界面后节点)x第四章导热问题———一维稳态导热xPBEe由上可见，在内节点法网格系统中，边界节点在紧邻边界的第一个内节点的控制界面上。以西边界为例，示于下图第四章导热问题———一维稳态导热在P节点的控制容积内积分一维稳态导热方程，即有：0dx)TSS(dx)dxdTk(dxdeBPPceB0x)TSS(q)x(TTkPPcBePEe第四章导热问题———一维稳态导热第一类边界条件已知BBTTwPBBB)x(TTkqbTaTaEEPP0x)TSS(q)x(TTkPPcBePEe假定节点B和P之间温度T为线性分布，则，eeE)x(kawBPEP)x(kxSaaBwBcT)x(kxSb第四章导热问题———一维稳态导热第二类边界条件，给定qB0x)TSS(q)x(TTkPPcBePEeBqbTaTaEEPPeeE)x(kaBcqxSbxSaaPEP第四章导热问题———一维稳态导热第三类边界条件，给定0x)TSS(q)x(TTkPPcBePEebTaTaEEPPeeE)x(ka)TT(qBfB)TT(qBfB假定节点B和P之间温度T为线性分布，则，wPBBB)x(TTkq1k)x(TTqBwPfBBBPEPk)x(11xSaaBBfck)x(1TxSb第四章导热问题———一维稳态导热内节点法网格系统边界节点差分方程的通用形式其中eeE)x(kax)SS(bad,ccad,cSad,pS和为附加源项bTaTaEEPPx)SS(aaad,pPEP第四章导热问题———一维稳态导热对第一类边界条件对第二类边界条件对第三类边界条件xT)x(kSgiven,BwBad,cx1)x(kSwBad,pxqSBad,c0Sad,px1k)x(1TSBwfad,cx1k)x(11SBwad,p第四章导热问题———一维稳态导热1非线性差分方程的线性化4.2.4差分方程的求解bTaTaTaWWEEPP)bTaTa(bTaTaWWBBEEBB)bTaTa(bTaTaWWPPEEPP非紧邻边界节点或紧邻边界节点的差分方程边界节点差分方程引入边界条件紧邻边界节点差分方程，引入边界条件内节点法外节点法第四章导热问题———一维稳态导热对外节点网格系统n个内节点2个边界节点n+2个待求温度n个差分方程2个差分方程n+2个差分方程第四章导热问题———一维稳态导热bTaTaTaWWEEPP所有系数与待求温度无关系数是待求温度的函数线性代数方程组非线性代数方程组温度场线性代数方程组的求解方法线化假定温度场第四章导热问题———一维稳态导热1、在所有各个网格节点上，猜测或估计或假定一个T值2、用这些估计的T值去计算差分方程中的所有系数，从而差分方程中的所有系数变成了已知量，而使差分方程变成了线性方程。3、求解上边的线性方程组，得到各离散点新的T值。4、用新得到的T值去计算差分方程中的所有系数，并返回第3步求解系数发生了变化的线性差分方程。重复3、4这个过程，直到重复计算不在引起T值任何有意义的变化为止。非线性代数方程组的求解步骤第四章导热问题———一维稳态导热非线性代数方程组的求解流程给定节点上的温度值T*计算差分方程的系数和源项求解线性代数方程组，得到新的温度分布TbTaTaTaWWEEPP*W*WE*EP*PbTaTaTa?*TTMaxY结束*TTN第四章导热问题———一维稳态导热2求解线性代数方程组的TDMA方法bTaTaTaWWEEPPN,,2,1i,dTcTbTai1ii1iiii0c10bN用编号法表示表示成矩阵第四章导热问题———一维稳态导热