小波变换及其应用-信号与信息处理领域新技术讲座

1信号时频分析的重要性：•时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。•信号的时域和频域之间具有紧密的联系。2对于各种信号，可以有不同的分类方法，如确定性信号与随机信号、周期信号与非周期信号、连续信号与离散信号、平稳信号与非平稳信号等。所谓信号分析就是在时(间)域或变换域对信号进行分析处理的过程。信号分析的最直接的方法就是在时域内对信号进行分析，其突出特点是方法简单、物理概念明确。然而，对于某些信号在时域很难分析、或特征不明显，需要进行某种变换，典型的方法是Fourier变换，即在变换域进行分析。在信号变换域分析中，变换的目的就是寻求对信号的另外一种表示，使得比较复杂、特征不明显的信号在变换域更加明显，利于分析。Fourier变换及其反变换建立了时域信号和频域谱(变换域)的一对一关系，时域和频域构成了两种不同的分析信号方法。信号时域和频域分析可以截然分开是以信号的频率特性时不变或统计特性平稳为前提条件的。3实际中的许多信号往往都表现出非平稳性，在这种情况下，时、频两域的分析便不能截然分开，而这种不完全可分性会使得Fourier变换无能为力。另外Fourier变换在时域中没有任何分辨率，即)(ωF在任何有限频段上的信息均不足以刻画任意小范围内的，也就是说经典的Fourier变换分析法在理论与实际应用中都受到一定的限制。45FT在信号处理中的局限性•用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。•傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。67在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范围中的特征,例如：•在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么样的音符；•对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；•图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析8短时Fourier变换若是窗函数，则短时Fourier变换定义为•短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换•短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子dtbtGetffGtib)~(tg9相空间是指以“时间”为横坐标，“频域”为纵坐标的欧氏空间，而相空间中的有限区域被称为窗口，沿时间轴的一段区间被称为时间窗，沿频率轴的一段区间被称为频率窗。t1011实际中信号分析的要求：•信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。•信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。因此，短时Fourier变换不能敏感地反映信号的突变，不能很好地刻画信息。12小波(wavelet)分析发展历史•1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文•1910年Haar提出最简单的小波•1980年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。•1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。•1988年Mallat提出的多分辨度分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。13小波的特点和发展“小波分析”是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解。小波变换及时频分析的目的就是根据实际非稳定信号的分析特点，结合信号的时、频特性，对其信号进行时频分析，以达到最佳的分析效果。14小波的时间和频率特性运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。•时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。•频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。时间A时间B15小波基表示发生的时间和频率“时频局域性”图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基16小波的3个特点•小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）•小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）•小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时，Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：17连续小波函数定义：设，则下面的函数族叫小波分析或连续小波，叫基本小波或小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我们恒假定为窗口小波函数。00ˆ12且LLba,abtatba21,0,RaRb181920连续小波函数窗口的“变焦”特性:•当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；•当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.t21多分辨分析•1988年Mallat提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。•当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：22多分辨分析23小波分解和小波基小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号例如：小波分解a=小波系数wa×小波基A24Daubechies小波25Coiflets小波2627小波除噪算法传统的建立在付氏变换基础上的滤波方法在提高信噪比和提高分辨率之间存在矛盾。低通滤波器虽然能通过平滑抑制噪音，但同时也会使信号的边沿模糊。高通滤波器可以使边沿更加陡峭，但背景噪音同时被加强。与之相比基于小波变换的多分辨分析有明显的优点。基于小波变换分析的多分辨分析即相当于对信号进行低通和高通滤波，可将信号分解为位于不同频带和时段内的各个成分。因此，通过Mallat算法将信号分解后，就可根据先验知识，引入门限来作为甄别受到噪声污染的小波系数。将等于和小于门限的小波系数认为由噪声产生，置其为零而舍去。对于大于门限的小波系数,即认为是含有用信号成分，给予保留。再由Mallat重构算法根据形成新的信号成分序列来重建信号,从而即获得滤除噪声后的信号，又不致于引起重建结果的明显失真。这就是非线性小波方法用于从噪声中恢复信号的实质。要用小波方法很好地实现信噪分离，关键的问题是如何设计出好的门限。28图Donoho噪声抑制信号29小波函数(bior2.2)分解滤波器系数如下：h0(-2,-1,0,1,2)={0，0，0.3536，0.7071，0.3536}；h1(-2,-1,0,1,2)={0.1768，0.3536，-1.0607，0.3536，0.1768}。小波函数(bior2.2)重构滤波器系数如下：g0(-2,-1,0,1,2)={-0.1768，0.3536，1.0607，0.3536，-0.1768}；g1(-2,-1,0,1,2)={0，0.3536，-0.7071，0.3536，0}。含噪音的心电信号小波分解3031信号突变点的小波检测原理在信号的自动分析与识别的过程中，很难根据原始观察数据给出直接解释，故总要提取它的某些特征来表征它。提取何种特征需要根据信号特点和分析目的决定，但也不排斥提取一些具有共性的特征，如信号的过零点、极值点以及过零间隔等。信号的急剧变化处常常是分析特性的关键点，例如心电图中的QRS波群。由信号的小波变换的奇异点(如过零点、极值点等)来表征信号(特别是信号的突变或瞬态特征)是小波变换引人注意的应用领域。32对于信号奇异性检测来说，小波变换最重要的应用就是用模极大值定位奇异点．第一，从直观角度，小波变换的实质就是一种度量波形相似程度的方法．信号与小波越相似，则小波系数越大．这也就可理解为出现了小波变换的模极大值．因为当信号出现奇异点时，或是间断点，或是一阶导数不连续点，其在各个尺度下都将必然出现大的小波系数．从而可以定位奇异点！第二个方面从小波的取法来看，当小波取为光滑函数一阶导数或二阶导数时，从公式可以推导出小波变换将出现模极大值点或是过零点．也就是模极大值检测和零交叉检测。第三个方面小波变换能够通过多尺度分析提取信号的奇异点。基本原理是当信号在奇异点附近的Lipschitz指数a0时，其小波变换的模极大值随尺度的增大而增大;当a0时，则随尺度的增大而减小。噪声对应的Lipschitz指数小于0,而信号边沿对应的Lipschitz指数大于或等于0,因此，利用小波变换可以区分噪声和信号边沿，有效地检测出强嗓声背景下的信号边沿(缓变或突变)。33343536小波分析的应用小波变换用于图象压缩有良好的效果，已形成图象压缩的标准如JPEG2000。视频压缩标准H.264、MPEG4等。新一代通信系统OFDMA等。37小波变换用于图象特征抽取第1级斜线细节第1级水平细节第1级垂直细节水平细节近似图象垂直细节斜线细节38第1级L1斜线细节第1级L1水平细节第1级L1垂直细节第2级L2细节近似图象第3级L3小波系数分级方块表示法39第3级L3分辨率第2级L2分辨率第1级L1分辨率小波系数分级树形表示法40小波变换用于图象压缩•采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计特性有改善，消除行和列之间的相关关系。•有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编码，如算术编码或霍夫曼编码。•无损压缩：41小波变换用于图象压缩第3级L3水平、斜线、垂直细节第2级L2水平、斜线、垂直细节第1级L1水平、斜线、垂直细节两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）42小波变换用于无损数据隐藏无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。例如可以采用第二代小波。无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据。43小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）原始图象（1024768）信息隐藏后的伪装图象（1024768）同时隐藏5张（320×280）图象（见下页）44同时隐藏的5张（320×280）交通图象，可完全恢复（1）上海延安路（3）上海曲阳路（2）外地（4）上海曲阳路（5）上海曲阳路45小波变换用于图象水印指纹原始图象嵌入水印(取款密码等)后图象•指纹传感器：标准的Veridicom指纹鼠标•指纹开发工具：VeridicomAuthenticationSDK以Windows的DLL库方式提供•指纹库：(FingerprintVerificationCompetition,FVC)。银行取款密码嵌入指纹，网上进行身份认证46小波变换用于图象水印小波正变换小波反变换小波正变换小波反变换数据嵌入数据提取原始图象加水印后图象输入原始图象加水印后图象输出隐藏数据隐藏数据47小波的新进展（1）第二代小波，称提升算法，可用于整数小波。（2）嵌入零树法，获得更优良的效果。（3）小波与统计理论结合。（4）商品化，如“JPEG2000”小波图象压缩标准，MATLAB小波计算包等。脊波变换