微分法在几何上应用

§9.8微分法在几何上的应用主要内容空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxx,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即1.空间曲线方程为,)()(xzzxyy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzzxyyyxx.0))(())(()(00000zzxzyyxyxx法平面方程为切线方程为特殊地：2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy确定y=y(x),z=z(x).曲线切线的方向向量为:{1,y(x),z(x)}0,曲线方程两边对x求偏导后可得到:例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解3曲线在点（1，-2，1）的切线向量}1,0,1{611122200zyxkjiGGGFFFkjiszyxzyx设曲面方程为0),,(zyxF)},(),(),({000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx二、曲面的切平面与法线nTM)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令则,Tn由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx),(00yxffyy其中例3求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx例4求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx例5求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)例6.)(过原点任一点处的切平面都通证明曲面上xyxfz,)(,),,(00000000xyfxzzyxM则在曲面上设点,)(1)(,)()()()()(0000000000020000000000xyfxxyfxyzxyfxyxyfxyxyfxxyfxzMM))(())](()([000000000000yyxyfxxxyfxyxyfzzM的切平面过点解:yxyfxxyfxyxyfz)()]()([:00000000即例7.0),(量平行的所有切平面与一定矢证明曲面bzcyazcxF},,{},,{21210FbFaFcFczFyFxFnP解:曲面s在点P0的法矢量.,0},,{平行所有的切平面均与矢量即曲面上满足与矢量不难看出LLncbaLn空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结思考题如果平面01633zyx与椭球面163222zyx相切，求.思考题解答},2,2,6{000zyxn设切点),,,(000zyx依题意知切向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2一、填空题:1、曲线2,1,1tzttyttx再对应于1t的点处切线方程为________________；法平面方程为________________.2、曲面3xyzez在点)0,1,2(处的切平面方程为__________________；法线方程为__________________.二、求出曲线32,,tztytx上的点,使在该点的切线平行于平面42zyx.三、求球面6222zyx与抛物面22yxz的交线在)2,1,1(处的切线方程.练习题四、求椭球面12222zyx上平行于平面02zyx的切平面方程.五、试证曲面)0(aazyx上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.一、1、011682,8142121zyxzyx；2、02112,042zyxyx.二、)271,91,31()1,1,1(21PP及.三、0202021111zyxzyx或.四、2112zyx.练习题答案