三、与冲激函数或阶跃函数的卷积

第2章连续系统的时域分析第2章连续系统的时域分析2.1微分方程的建立与求解2.2起始点的跳变2.3零输入响应和零状态响应2.4冲激响应与阶跃响应2.5卷积2.6卷积的性质第2章连续系统的时域分析2.1微分方程的建立与求解•许多实际系统可以用线性系统来模拟。•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。一．微分方程的列写第2章连续系统的时域分析•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。第2章连续系统的时域分析二．求解系统微分方程的经典法::经典法零输入响应和零状态响应解方程零输入可利用经典法求解零状态利用卷积积分法求解变换域法第2章连续系统的时域分析齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式nktkkA1e注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。kA全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。时域经典法就是：完全解=齐次解+特解。第2章连续系统的时域分析特征根齐次解实单根r重实根共轭复根r重共轭复根nyti1,0,1,1itriiirCCtCte1,2jcossinteAtBtcostCet1001111coscoscostrrreCtCttCttiitiCe表2-1几种特征根情况下齐次解的形式第2章连续系统的时域分析表2－2几种典型的自由项对应的特解形式第2章连续系统的时域分析关于实际系统中的初始条件问题•在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用时刻的初始条件来确定完全解中的待定系数。•在实际系统中一般选择为初始观测时刻，而系统的激励是在时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，响应及其各阶导数在处可能发生跳变或出现冲激。为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。0t0t0t0t第2章连续系统的时域分析系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的函数值，可用{y(i)(0-),i=0,1,…,n-1}表示；而系统的初始条件就是系统响应及其各阶导函数在0+时刻的函数值，用{y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情况下，我们求的系统响应是指系统接入激励以后的响应，即0+≤t+∞。所以，应当利用系统的初始条件求齐次解中的各个系数。第2章连续系统的时域分析严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始状态是有区别的。系统状态是指系统储能的情况或数据。而我们知道电系统的储能元件是电感和电容，也就是说，起始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在起始时刻的值iL(0-)和uC(0-)。类似地，初始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在初始时刻的值iL(0+)和uC(0+)。第2章连续系统的时域分析【例】描述某线性时不变系统的方程为)(2)(dd)(2)(dd3)(dd22tftfttytyttyt若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1,y′(0+)=1。试求系统全解。【解】0)(2)(dd3)(dd22tytyttyt特征方程为0232第2章连续系统的时域分析解得特征根为2,121所以，齐次解为ttcccty-22-1ee)(由于f(t)=t2，因此，设特解为0122)(ptptptyp将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有ttppptpptp22)232()62(222102122第2章连续系统的时域分析023226222210212pppppp解得2,2,1012ppp这样，特解为22)(2tttyp全解为22ee)(2221ttcctytt第2章连续系统的时域分析将初始条件y(0+)=1,y′(0+)=1代入上式，得12122121ccccc1=1,c2=-2所以，全响应y(t)为22e2e)(2-2-tttytt(t≥0)第2章连续系统的时域分析2.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换例:建立电流的微分方程并求解在时的变化。ti0ttiit4etV1CF232R14LH11R12S第2章连续系统的时域分析解：（1）列写电路的微分方程12(1)(2)(3)ccLLCLRitvtetdvtLititRdtditCvtitdt根据电路形式，列回路方程列结点方程第2章连续系统的时域分析2222t7t10tt6t4tiiiddddeeedtdtdtdt27100122,5（2）求系统的完全响应齐次解：系统的特征方程：特征根：齐次解：25h12t0ittAeAet将电路参数代入,并整理方程得:第2章连续系统的时域分析特解：根据自由项令，将其代入原方程得：ptiB85B要求系统的完全响应为：25128t05ittAeAet第2章连续系统的时域分析（3）确定换路后的+00ididt和L20-0-iiR124===AR50-iddt=0换路前4360525cvV换路后的+00ididt和第2章连续系统的时域分析由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，因而有：+++16140004155icevA11=R+++++L+0001000111440/2/1155iiicdddevdtdtdtdedtCAsAs1=1R第2章连续系统的时域分析（4）求在时的完全响应ti0t+12+128140550252iiAAdAAdt由求得：1243215AA第2章连续系统的时域分析要求的完全响应为25428t03155itteeAt第2章连续系统的时域分析当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数。如果包含有及其各阶导数，说明相应的0-到0+状态发生了跳变，即这时为确定0+状态值，可以用冲激函数匹配法。它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。t''0000rrrr或t等等。t第2章连续系统的时域分析示例：'t33drrttdt-0r给定0-状态起始值为，确定它的0+状态。+0r第2章连续系统的时域分析设：（#）'tdratbtcutdt00ttratbut积分一次得（*）将（#）式和（*）式代入原方程''33atbtcutatbutt第2章连续系统的时域分析得出：39ab要求的+-+-009090rrbrr或第2章连续系统的时域分析例：用冲激函数匹配法求解例1中的电流i（t）的完全响应r（t）。22t7t10t2128iiiddttutdtdt‘0t解：（1）求出时微分方程表示为（2）用冲激函数匹配法求+00ididt和第2章连续系统的时域分析由于方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有t‘22tt00tdiatbtcutdtdiatbuttdtiaut‘代入原式得：第2章连续系统的时域分析27127108abacba因而有++-22+-2200-2002002iiiiiiaddbdtdtddcdtdt第2章连续系统的时域分析要求的0+状态为++-414020-2550202iiiidddtdt其余求解步骤同前例。第2章连续系统的时域分析2.3零输入响应和零状态响应示例：设有如图所示RC电路，电容两端有起始电压，激励源为，求t0时系统响应——电容两端电压。0cvetcvtet0cvcvtR第2章连续系统的时域分析解：不难求得描述系统的微分方程为11CCdvtvtetdtRCRCtRCe11tttRCRCRCCCdevtevteetdtRCRC为求解此方程，将上列方程两端乘以或写作1ttRCRCCdevteetdtRC第2章连续系统的时域分析两边求积分：0001()011010ttRCRCCttRCRCCctttRCRCCCdevdeeddRCevtveedRCvteveedRC－－零输入响应零状态响应得＋第2章连续系统的时域分析1．系统响应划分自由响应＋强迫响应(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state)第2章连续系统的时域分析也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。形式取决于外加激励。对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：2、各种系统响应定义第2章连续系统的时域分析是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。(2)暂态响应：稳态响应：第2章连续系统的时域分析没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。(3)零输入响应：零状态响应：第2章连续系统的时域分析系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。00LCiv和系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。00LCiv和求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。3、求解第2章连续系统的时域分析例：如下电路，把t0电路看作起始状态，分别求t0时i(t)的零输入响应和零状态响应。2etVit4etV1CF232R14LH11R12S第2章连续系统的时域分析解：如果把电路转换成电容和电感中的起始储能，则可以画出如下图所示的带有起始储能的电路。00cLvi和1R2Ret0cv0LiLCit第2章连续系统的时域分析1RC2R0LiL0cv(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在时刻的等效电路如下图所示.电路将在的作用下工作.00cLvi和0t第2章连续系统的时域分析根据上图系统满足微分方程2zizizi2zi+zi+t7t10t000iiiiidddtdtddt+和0状态的及的解。由于整个电路是在电容和电感的