反比例函数教案

反比例函数教学目标：1.能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式，从而解决实际问题。2.用描点法画出反比例函数的图象，当k0时，双曲线的两支在一、三象限；当k0时，双曲线的两支在二、四象限，双曲线是关于原点的对称图形，这一点在作图时很重要。3.用一元方程求解反比例函数的解析式，学习中与正比例函数相类比。4.掌握反比例函数增减性，k0时，y随x的增大而减小，k0时，y随x的增大而增大。5.熟练反比例函数有关的面积问题。二.重点、难点重点：反比例函数的定义、图象性质。难点：反比例函数增减性的理解。典型例题：例1.下列各题中，哪些是反比例函数关系。（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；（2）多边形的内角和与边数的关系；（3）正三角形的面积与边长之间的关系；（4）直角三角形中两锐角间的关系；（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；（6）有一个角为30的直角三角形的斜边与一直角边的关系。解：成反比例关系的是（1）、（5）点拨：若判断困难时，应一一写出函数关系式来进行求解。例2.在同一坐标系中，画出yx8和yx2的图象，并求出交点坐标。点悟：yx8的图象是双曲线，两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。并且每一支都向两方无限接近x、y轴。而yx2的图象是过原点的直线。解：x-4-2121224yx8-2-4-161642yxyxxy822411，xy2224双曲线yx8与直线yx2相交于（2，4），（24,）两点。点拨：本题求解使用了“数形结合”的思想。例3.当n取什么值时，ynnxnn()2122是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大或是减小？点悟：根据反比例函数的定义：ykxk()0，可知ynnxnn()2122是反比例函数，必须且只需nn220且nn211解：ynnxnn()2122是反比例函数，则nnnn222011nnnn0201且或即n1故当n1时，ynnxnn()2122表示反比例函数yx1k10双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大而增大。点拨：判断一个函数是否是反比例函数，惟一的标准就是看它是否符合定义。例4.若点（3，4）是反比例函数ymmx221图象上一点，则此函数图象必经过点（）A.（2，6）B.（2，－6）C.（4，－3）D.（3，－4）（2002年武汉）点悟：将点（3，4）代入函数式求出m的值。解：将点（3，4）代入已知反比例函数解析式，得34212mm即mm22112，mm2213ymmxxx22113112将A点坐标代入满足上式，故选A。点拨：本题中求mm22的值的整体思想是巧妙解题的关键。例5.a取哪些值时，yaaxaa231227142是反比例函数？求函数解析式？解：271412aa解得a132，a25当a32时，23232332022aa()()当a5时，232535022aa当a5时，函数yaaxaa231227142是反比例函数，其解析式为yx65点拨：反比例函数可写成ykx1，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对k0这一条件的讨论。例6.若函数ymmxmm()232是反比例函数，求其函数解析式。解：由题意，得mmmm22310得mmmm122101,且m2故所求解析式为yxx661点拨：在确定函数解析式时，不仅要对指数进行讨论，而且要注意对x的系数的条件的讨论，二者缺一不可。例7.（1）已知yyy12，而y1与x1成反比例，y2与x2成正比例，并且x1时，y2；x0时，y2，求y与x的函数关系式；（2）直线l：ykxb与yx2平行且过点（3，4），求l的解析式。解：（1）y1与x1成反比例，y2与x2成正比例ykx111，ykx222yyykxkx121221把x1，y2及x0，y2代入得2220121kkkkk1221yxx212（2）ykxb与yx2平行k2又ykxb过点（3，4）34kb，b2直线l的解析式为yx22点拨：这是一道综合题，应注意综合应用有关知识来解之。例8.一定质量的二氧化碳，当它的体积Vm53时，它的密度1983./kgm（1）求与V的函数关系式；（2）求当Vm93时二氧化碳的密度。解：（1）由物理知识可知，质量m，体积V，密度之间的关系为mV。由1983./kgm，Vm53，得mVkg198599..()99.V（2）将Vm93代入上式，得999113..(/)kgm点拨：这是课本上的一道习题，它具有典型性，其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合，且V的取值可变化。例9.在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P（m，n），它的坐标是方程tt2420的两个根，求双曲线的函数解析式。点悟：因为反比例函数ykx的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以，不妨设所求的函数解析式为ykx。然后把双曲线上一点的坐标代入，即可求出k的值。解：由方程tt2420解得t126，t226P点坐标为（2626,）或（2626,）设双曲线的函数解析式为ykx，则将x26，y26代入ykx，得k2将x26，y26代入ykx，得k2故所求函数解析式为yx2点拨：只需知道曲线ykx上一点即可确定k。例10.如图，RtABC的锐角顶点是直线yxm与双曲线ymx在第一象限的交点，且SAOB3（1）求m的值（2）求SABC的值解：（1）设A点坐标为（a，b）（a0，b0）则OBa，ABbSabAOB123，ab6又A在双曲线ymx上bma，即abm，m6（2）点A是直线与双曲线的交点babaab6631531511或ab22315315ab00,A（315315,）由直线知C（－6，0）OC6，OB315，AB315SOBOCABABC12()12315631512315()()点拨：三角形面积和反比例函数的关系，常用来求某些未知元素（如本例中的m）模拟试题：一.选择题1.函数ymxmm()2229是反比例函数，则m的值是（）A.m4或m2B.m4C.m2D.m12.下列函数中，是反比例函数的是（）A.yx2B.yx12C.yx11D.yx123.函数ykx与ykx（k0）的图象的交点个数是（）A.0B.1C.2D.不确定4.函数ykxb与ykxkb()0的图象可能是（）ABCD5.若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（）A.正比例函数B.反比例函数C.二次函数D.z随x增大而增大6.下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是（）A.yx19B.105xy:C.yx412D.152xy二.填空题7.一般地，函数__________是反比例函数，其图象是__________，当k0时，图象两支在__________象限内。8.已知反比例函数yx2，当y6时，x_________9.反比例函数yaxaa()3224的函数值为4时，自变量x的值是_________10.反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________11.若函数yx4与yx1的图象有一个交点是（12，2），则另一个交点坐标是_________三.解答题12.直线ykxb过x轴上的点A（32，0），且与双曲线ykx相交于B、C两点，已知B点坐标为（12，4），求直线和双曲线的解析式。13.已知一次函数yx2与反比例函数ykx的图象的一个交点为P（a，b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。14.已知函数ymmxmm()21222是一次函数，它的图象与反比例函数ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，求反比例函数的解析式。试题答案：一.1.B2.B3.A4.A5.A6.C二.7.ykx，k0；双曲线；二、四8.139.110.yx1511.（12，2）三.12.由题意知点A（32，0），点B（12，4）在直线ykxb上，由此得032412kbkbkb23点B（12，4）在双曲线ykx上412k，k2双曲线解析式为yx213.由题设，得babkaab210022abk116848，abk228648a6，b8或a8，b6yx4814.由已知条件mmmm222010mmmm0221,或m1使yx32代入ykx3202xxk因图象交于一点，0即4120kk13yx13