一阶隐式微分方程

隐式微分方程的解法讨论摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.一阶隐式微分方程的概念与求解思路1.定义没有就'y解出的形如F（,xy,'y）=0的方程我们称为一阶隐式微分方程.2.求解思路如果能从方程F（,xy,'y）=0中解出'y那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F（,xy,'y）=0的解.例1解微分方程220xxdyxdyyexyedxydx解：将此微分方程的左端分解因式得2xdydyxyedxdxy=0分别解两个微分方程dydx2yxe和dydx=xy，得到的解分别是xe+11Cy0和2220yxC于是我们得到所求微分方程的通解为11xeCy2220yxC应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数1C和2C。对于给定两个常数1C，2C,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数1C和2C就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.一般来说，很难从方程F（,xy,'y）=0中解出'y，或者即使解出'y，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出'y，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1）y'(,)fxy2）x'(,)fyy3）'(,)0Fxy4）'(,)0Fyy二、可解出y或x的方程的解法1.可解出y的隐式方程y'(,)fxy如果从方程F（,xy,'y）=0中可以解出y，那么就可以得到第一种类型y'(,)fxy在这里假设函数y'(,)fxy有关于x、'y有连续的偏导数.引入参数p='y，则原方程变为y(,)fxp将上式两边对x求导数，并以p代替'y，这样可以得到,,fxpfxpdpPxpdx该方程是关于x，p的一阶显方程如果求的该方程的通解为p=（,xC）将它代入y=f（,xp），这样得到原方程的通解为yf（,x（,xC））（C为任意常数）如果，方程,,fxpfxpdpPxpdx还有解p=u（x）把上式代入到y=f（,xp），那么就得到原方程的相应解y=f（x,u（x））如果能求得方程,,fxpfxpdpPxpdx的通解F=（x,p,C）=0将它和y=f（,xp）结合，就能得到原方程参数形式的通解(,,)0,(,),FxpCyxp其中p是参数，C是任意常数，如果方程,,fxpfxpdpPxpdx还有解(,)0Gxp将它和y=f（,xp）结合，这样得到方程相应的参数形式的解(,)0,(,),Gxpyfxp其中p为参数.根据上面讨论，为了求解方程y'(,)fxy,我们引进参数'py，通过对x进行求导数，从而消去y，把问题简化成求解关于x与p的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例2．解方程：1dyxydx解：原方程是就dydx解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y解出的方程来求解.原方程就y解出可得1dyyxdx令dydx=p，则可得：1ypx对上式两边关于x求导，用dypdx代入则可得1dppdx也就是1dppdx1）当10p时，分离变量，可得1dpdxp两边同时积分可得ln1lnpxc（c为不等于0的常数）或ln1pxc（c为任意常数）即1ln1xpcexpc或将上面两个式子代入到1ypx可得(2)xycex（c为不等于0的任意常数）或ln11yppc（c为任意实数）2）当10p有：1p把它代入到1ypx可得：(2)yx根据1）、2）即可知，原方程通解为：(2)xycex（c为任意常数）其参数形式的通解可表示为：ln1ln11xpcyppc（1p，参数；c为任意常数）及(2)yx例3.解方程2'2'()2xyyxy.解：令'yp，原方程可化为222xypxp，两边同时对x求导，可得2,dpdppppxxdxdx化简整理之后可得(2)(1)0dppxdx对10dpdx积分就可以得到上式的通解pxC（C为任意常数）把它代入到222xypxp，便可以得到原方程通解222xyCxC（C为任意常数）又从20px，便可得原方程一个解2xp，把它代入222xypxp又可以得到方程一个特解：24xy应该注意到方程的通解222xyCxC和这个特解24xy它们同时经过点2(2,)PCC，并且在改点斜率为C.做出特解和通解的图形，从下图我们可以知道，在积分曲线24xy上每一点处，都有积分曲线族222xyCxC中的某一条积分曲线在该点与之相切.在几何中，我们称24xy是曲线族222xyCxC的包络.在微分方程中我们称积分曲线24xy对应的解为原解的奇解，奇解对应的曲线上的每一点，至少有方程的两条积分曲线通过.而作为y'(,)fxy的一种重要类型，一般我们把形如：''()yxyy的方程称为克莱罗方程，它是关于y可以解出的一阶隐式方程，其中()z二阶连续可微，且()0z.可以利用微分法求解该方程，令'yp，并对x求导数可得'()dpdpppxpdxdx即('())0dpxpdx当0dpdx时，有pC，因此通解为()yCXC当'()0xp时，可得克莱罗方程一个特解''()()()xpyppp通解()yCXC是一族直线特解''()()()xpyppp是该直线的包络.例4求解方程''1yxyy解：该方程克莱罗方程，''20pxpp，'0p，21xp所以该方程有通解：1yCxC以及特解：211xpypxp消去参数p，得到原方程的奇解：24yx所以该方程通解是直线族：1yCxC，而奇解是通解的包络：24yx.2.可解出x的隐式方程xf（',yy）对于可解出x的方程的第二种类型xf（',yy）该方程的求解方法和方程yf（',xy）的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数'(,)xfyy有关于y、'y的连续偏导数.引进参数'yp，则原式可变为(,)xyp将上式两边对y求导数，并以1dxdyp代入，可得1ffdppypdy该方程是联系yp、，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程1ffdppypdy的通解形式：(,)pwyc（c为任意常数）则原方程xf（',yy）的通解为：(,(,))xfywyc（c为任意常数）如果求的方程1ffdppypdy的通解形式为：·(,)yvpc（p为参数，c为常数）则原方程xf（',yy）的通解为：((,),)(,)xfvpcpyvpc（p为参数，c为常数）如果求的方程1ffdppypdy的通解形式为：(,,)0ypc则方程(,)xyp的参数形式的通解为：(,)(,,)0xfypypc（p为参数，c为任意常数）例5．解方程：2'3'20yyxyy解：在这里我们可以把原方程当作可就x解出的方程来求解，因此就有.2'2'22yyyxy令'y=p，则可得：2222yypxp对上式两边关于y求导，用'11dydxyp代入整理可得3(12)0dppypdyy由0dppdyy，可以求得上式的通解Cpy，将它代入到方程2222yypxp，整理后可得原方程通解232yCxC再由312yp=0可得3(12)0dppypdyy的特解312yp原方程的参数表示的特解为433812xpyp三、不显含x或y的方程的解法1.不显含y的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程'(,,)0Fxyy的解是平面xOy的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示。对于方程'(,,)0Fxyy，若其左端不显含y，即第三种类型'(,)0Fxy在方程F（',xy）=0中，记'dypydx.由于不显含y，我们不妨把方程看作代表平面'xOy上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：'()()xtyt这里t为参数.而沿方程'(,)0Fxy的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系'dyydx，将'()()xtyt代入该基本关系式可得'()()dyttdt两边积分可以得到'()()yttdtC于是可以得到'(,)0Fxy的参数形式通解为'()()()xtyttdtC例6.求解方程3'3'30.xyxy解：令'ytx，则代入原方程可得331txt从而可得2'331tyt由'dyydx，可得32339(12)(1)ttdydtt对其积分，可得32333329(12)314(1)2(1)tttydtCtt因此方程的通解的参数形式为3332313142(1)txttyCt2．不显含x的隐式方程对于不含x的隐式方程'(,)0Fyy其求解方法和'(,)0Fxy的方法基本类似，在这里记'py，引入参数t，将方程表为适当的参数形式()()ytpt根据关系式dypdx可得'()()tdttdx由此得''()(),,()()ttdxdtxdtCtt这样就可以得到方程'(,)0Fyy的参数形式通解'()()()txdtCtyt此外，容易验证，若(,0)0Fy有实根,ykyk则也是方程的解.例7．求解隐式方程2211dyydx解法1由原方程可解出'y，有21ydydxy若210y，分离变量可得21ydydxy对它进行积分，则21xyC可得原方程通解为22()1yxC同时根据210y，可知1y也是原方程的解.解法2方程是不显含x的隐式方程，可令'cosyt，将其代入到原方程中可解出cscyt，这样在'0y的情况下，由'dydxy可得：2sec(csccot)csc.dxtdttdt积分可得cot,xtC原方程通解的参数形式为cotcscxtCyt消去参数t，则可得方程的隐式解2()1yxC.另外，当'y=0是，由原方程可得21y，因此方程的解还有1y.解法3令'yp，代入原方程可得211yp若'0y，由'dydxy可得3221.(1)dxdpp积分可得21pxCp,可知原方程同通解的参数方程为22111pxCpyp消去参数可得隐式解22()1yxC，此外根据'0y也可得到解1.y解法4令'21,tyy，代入原方程可得1yt并且同时可以得到'21yt.若'0y，由'dydxy可得221dtdxtt对其积分可得21txCt，则原方程通解为211txCtyt.消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当'0y时，有解1y.由例题7的