两个随机变量函数的分布

二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第3-5节　两个随机变量的函数的分布.,),,(,,,,的分布分布确定的如何通过的函数关系与并且已知表示该人的血压年龄和体重分别表示一个人的和令有一大群人ZYXYXfZYXZZYX　　为了解决类似的问题,下面我们讨论两个随机变量函数的分布.一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布XY012121312312112101211221220122的分布律为设随机变量),(YX例1.)2(,)1(的分布律求YXYX概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(123221,122121,121)2,3(122)0,3(122XY012121312312112101211221220122解等价于概率),(YX)2,1(121)1,1(121)0,1(1232,211221,21121)2,3(122)0,3(122YX321232113YX101252353YXP321232113121121123122121122122YXP01252353124121122121122122的分布律分别为所以YXYX,结论的联合分布律为若二维离散型随机变量,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXfZ}),({}{kkzYXfPzZP(,)1,2,.kijijzfxypk例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为XXP317.03.0YYP424.06.0求随机变量Z=X+Y的分布律.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP得YX421318.012.042.028.0因为X与Y相互独立,所以解可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18.012.042.028.0YXZ3557所以YXZP35718.054.028.0YX421318.012.042.028.0例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为XP105.05.0.),max(:的分布律试求YXZ},{}{},{jYPiXPjYiXP所以于是XY1010221221221221解,相互独立与因为YX}),{max(iYXP{,}PXiYi},{iYiXP}0),{max(YXP}0,0{P,212}1),{max(YXP}1,1{}1,0{}0,1{PPP222212121.232的分布律为故),max(YXZZP104341XY1010221221221221的分布函数为则的概率密度为　　设YXZyxpYX),,(),(}{)(zZPzFZyxyxpzyxdd),(xyOzyxyxyxpyzd]d),([yuxyuyyupzd]d),([.d]d),([uyyyupz三、连续型随机变量函数的分布1.Z=X+Y的分布由此可得概率密度函数为.d),()(yyyzpzpZ.d),()(xxzxpzpZ由于X与Y对称,当X,Y独立时,也可表示为)(zpZ,d)()()(yypyzpzpYXZ.d)()()(xxzpxpzpYXZ或卷积公式,,21)(22yeypyY例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.,,21)(22xexpxX由于解.d)()()(xxzpxpzpYXZ由公式.)2,0(分布服从即NZ2zxtteetzd21242.2142zexeezpxzxZd21)(2)(222xeezxzd212242得说明).,(~,).,(~),,(~,,222121222211σσμμNZYXZσμNYσμNXYX且有仍然服从正态分布则相互独立且设一般有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.2~(,),1,2,,,niiiiiiink=1=且若XNZX221,)nniiiiiikk=1(则Z~N为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度,求Z=X+Y的概率密度.其它,,)(0101xxpdxxzpxpzpYXZ)()()(解:由卷积公式1010xzx也即zxzx110其它,,,)(021210110zzZzzdxzzdxzp如图所示:于是2.极值分布),min(),max(YXNYXM及令),()(,,yFxFYXYX和的分布函数分别为它们变量是两个相互独立的随机设则有}{)(maxzMPzF},{zYzXP}{}{zYPzXP).()(zFzFYX}{)(minzNPzF}{1zNP},{1zYzXP}{}{1zYPzXP)].(1)][(1[1zFzFYX}]{1[}]{1[1zYPzXP故有),()()(maxzFzFzFYX)].(1)][(1[1)(minzFzFzFYX推广的分布函数分别为及则),,,min(),,,max(2121nnXXXNXXXM),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX),,2,1(),(,,,,21nixFnXXXiXni它们的分布函数分别为量个相互独立的随机变是设)].(1[)](1)][(1[1)(21minzFzFzFzFnXXX则分布函数相互独立且具有相同的若,)(,,,21xFXXXn,)]([)(maxnzFzF.)](1[1)(minnzFzF12,,(i),(ii),.LLL设系统由两个相互独立的子系统联接而成连接的方式分别为串联并联如图所示XY1L2LXY2L1L例7度分别为已知它们的概率密的寿命分别为设,,,21YXLL,0,0,0,)(xxαexfαxX由解串联情况(i),,,21就停止工作系统中有一个损坏时由于当LLL的寿命为所以这时L).,min(YXZ0,0..αβαβLZ其中且试分别就以上两种联接方式写出的寿命的概率密度,0,0,0,1)(xxexFαxX,0,0,0,)(xxαexfαxX,0,0,0,)(yyβeyfβyY;0,0,0,)(yyβeyfβyY由1,0,()0,0.βyYeyFyy)](1)][(1[1)(minzFzFzFYX.0,0,0,1)(zzezβα.0,0,0,)()()(minzzeβαzfzβα的寿命为所以这时L).,max(YXZ的分布函数为),max(YXZ)()()(maxzFzFzFYX.0,0,0),1)(1(zzeeβzαz.0,0,0,)()()(maxzzeβαβeαezfzβαβzαz并联情况(ii),,,21才停止工作系统都损坏时由于当且仅当LLL例8设随机变量X与Y相互独立,且其分布密度分别为,0,10,1)(xxfX其它.,0,0,)(yeyfyY其它.求随机变量Z=2X+Y的分布密度.),(yxf由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的分布密度函数为解)()(yfxfYX.,0,0,10,其它yxey.dd2yxezYXy}{)(zZPzFZ}2{zYXPyxyxfzYXdd),(2xyOzyx2)0,10(yx随机变量Z的分布函数为所以随机变量Z的分布密度为.2,2)1(,20,2)1(,0,0)()(2zeezezzFzfzzZZ2201200,0,()(1)d,02,(1)d,2.zxzZxzzFzexzexz四、小结1.离散型随机变量函数的分布律的联合分布律为若二维离散型随机变量,2,1,,},{jipyYxXPijji的分布律为则随机变量函数),(YXfZ}),({}{kkzYXfPzZP.,2,1),(kpjikyxfzij2.连续型随机变量函数的分布的分布YXZ)1(M=max(X,Y)N=min(X,Y)(2)及的分布