高考数学压轴题精选(一)(老师用)

高考数学压轴题精选(一)1．（本小题满分12分）设函数xaxxxfln1)(在),1[上是增函数。求正实数a的取值范围；设1,0ab，求证：.ln1bbabbaba解：（1）01)(2'axaxxf对),1[x恒成立，xa1对),1[x恒成立又11x1a为所求。（2）取bbax，1,0,1bbaba，一方面，由（1）知xaxxxfln1)(在),1[上是增函数，0)1()(fbbaf0ln1bbabbaabba即babba1ln另一方面，设函数)1(ln)(xxxxG)1(0111)('xxxxxG∴)(xG在),1(上是增函数且在0xx处连续，又01)1(G∴当1x时，0)1()(GxG∴xxln即bbabbaln综上所述，.ln1bbabbaba2．已知椭圆C的一个顶点为(0,1)A，焦点在x轴上，右焦点到直线10xy的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设,(2,0)FAFBT，若||],1,2[TBTA求的取值范围。解：（1）由题意得：|1|22c1c…………………1分由题意1,2ba所以椭圆方程为2212xy………………………3分（2）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为1xky，2212xy代入中，得.012)2(22kyyk设1122(,),(,),AxyBxy则22221kkyy.21221kyy……………………………5分∵，FBFA∴有.021，且yy222122212()414222yykkyykk由021212125]1,2[.72072024212222kkkk…………7分∵).,4(),,2(),,2(21212211yyxxTBTAyxTByxTA又.2)1(42)(4,22222121221kkyykxxkkyy故2212212)()4(||yyxxTBTA222222222222)2(8)2(28)2(16)2(4)2()1(16kkkkkkk222)2(822816kk……………………………………………………8分令720.2122kkt∴21211672k，即].21,167[t∴.217)47(816288)(||222ttttfTBTA而]21,167[t，∴169()[4,]32ft∴].8213,2[||TBTA………………………………………………………10分3．设函数322()fxxaxaxm(0)a（1）若1a时函数()fx有三个互不相同的零点，求m的范围；（2）若函数()fx在1,1内没有极值点，求a的范围；（3）若对任意的3,6a，不等式()1fx在2,2x上恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）当1a时32()fxxxxm，因为()fx有三个互不相同的零点，所以32()0fxxxxm，即32mxxx有三个互不相同的实数根。令32()gxxxx，则'2()321(31)(1)gxxxxx。因为()gx在(,1)和13(,)均为减函数，在131,为增函数，m的取值范围5271,（2）由题可知，方程'22()320fxxaxa在1,1上没有实数根，因为'2'2(1)320(1)3200faafaaa，所以3a（3）∵'223()323()()afxxaxaxxa，且0a，∴函数()fx的递减区间为3(,)aa，递增区间为(,)a和3(,)a；当3,6a时，31,2,3,aa又2,2x，∴max()max(2),(2)fxff而2(2)(2)1640ffa∴2max()(2)842fxfaam，又∵()1fx在2,2x上恒成立，∴max()1fx，即28421aam，即2942maa在3,6a恒成立。∵2942aa的最小值为874．（本题满分14分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为22，直线:22lyx与以原点为圆心、以椭圆1C的短半轴长为半径的圆相切。（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）设椭圆1C的左焦点为F1，右焦点为F2，直线1l过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l垂直1l于点P，线段PF2的垂直平分线交2l于点M，求点M的轨迹C2的方程；（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．解：（Ⅰ）2222222221,,222cabeeabaa22202:byxyxl与圆直线相切2222,2,4,8,2bbba∴椭圆C1的方程是221.84xy…………3分（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线1:2lx的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，∴动点M的轨迹C是以1l为准线，F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为28yx…………6分（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，),(),,(2211yxCyxA，则直线AC的方程为(2).ykx联立2222221(2)(12)8880.84xyykxkxkxk及得所以22121222888,.1212kkxxxxkk22222121212232(1)||(1)()(1)[()4]12kACkxxkxxxxk…．9分由于直线BD的斜率为kk1,1用代换上式中的k可得2232(1)||2kBDk∵BDAC，∴四边形ABCD的面积为2222116(1)||||2(2)(12)kSACBDkk……．．12分由2222222(12)(2)3(1)(12)(2)[][]22kkkkk所以2264,122,19Skkk当时即时取等号．…………13分易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积8S5．（本小题满分14分）已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（ab0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝22，右准线方程为x＝2．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|F2M→＋F2N→|＝2263，求直线l的方程．解析：（1）由条件有ca＝22，a2c＝2解得a＝2，c＝1．∴b＝a2－c2＝1．所以，所求椭圆的方程为x22＋y2＝1．（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，将x＝－1代入椭圆方程得y＝±22．不妨设M－1，22．N－1，－22，∴F2M→＋F2N→＝－2，22＋－2，－22＝（－4,0）．∴|F2M→＋F2N→|＝4，与题设矛盾．∴直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．设M（x1，y1）．N（x2，y2），联立x22＋y2＝1，y＝k(x＋1)消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．由根与系数的关系知x1＋x2＝－4k21＋2k2，从而y1＋y2＝k（x1＋x2＋2）＝2k1＋2k2．又∵F2M→＝（x1－1，y1），F2N→＝（x2－1，y2），∴F2M→＋F2N→＝（x1＋x2－2，y1＋y2）．∴|F2M→＋F2N→|2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2＝8k2＋21＋2k22＋2k1＋2k22＝4(16k4＋9k2＋1)4k4＋4k2＋1．∴4(16k4＋9k2＋1)4k4＋4k2＋1＝22632．化简得40k4－23k2－17＝0，解得k2＝1或k2＝－1740（舍）．∴k＝±1．∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．6.（本小题满分12分）已知aR，函数()ln1afxxx，()ln1xgxxex（其中e为自然对数的底数）．（1）判断函数()fx在区间0,e上的单调性；（2）是否存在实数00,xe，使曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直?若存在，求出0x的值；若不存在，请说明理由．解（1）：∵()ln1afxxx，∴221()axafxxxx．令()0fx，得xa．①若a0，则()0fx，fx在区间0,e上单调递增.②若0ae，当0,xa时，()0fx，函数fx在区间0,a上单调递减，当,xae时，()0fx，函数fx在区间,ae上单调递增，③若ae，则()0fx，函数fx在区间0,e上单调递减.……6分（2）解：∵()ln1xgxxex，0,xe，()ln1ln11xxgxxexe1ln11ln11xxxexexexx由（1）可知，当1a时，1()ln1fxxx．此时()fx在区间0,e上的最小值为ln10，即1ln10xx．当00,xe，00xe，001ln10xx，∴00001()ln1110xgxxex．曲线()ygx在点0xx处的切线与y轴垂直等价于方程0()0gx有实数解．而00gx，即方程0()0gx无实数解．故不存在00,xe，使曲线()ygx在0xx处的切线与y轴垂直……12分7．（本小题满分12分）已知线段23CD，CD的中点为O，动点A满足2ACADa（a为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；（2）若2a，动点B满足4BCBD，且OAOB，试求AOB面积的最大值和最小值．解（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系.若223ACADa，即03a，动点A所在的曲线不存在；若223ACADa，即3a，动点A所在的曲线方程为0(33)yx；若223ACADa，即3a，动点A所在的曲线方程为222213xyaa.……4分(2)当2a时，其曲线方程为椭圆2214xy.由条件知,AB两点均在椭圆2214xy上，且OAOB设11(,)Axy，22(,)Bxy，OA的斜率为k(0)k，则OA的方程为ykx，OB的方程为1yxk解方程组2214ykxxy得212414xk，2212414kyk同理可求得222244kxk，22244ykAOB面积212211112Skxxk=2222(1)2(14)(4)kkk………………8分令21(1)ktt则222122994994tStttt令22991125()49()(1)24gttttt所以254()4gt，即415S当0k时，可求得1S,故415S，故S的最小值为45，最大值为1.……12分8.（本小题满分12分）设)0(1),(),,(22222211babxayyxByxA是椭圆上的两点，已知向量),(),,(2211aybxnaybxm,若0nm且椭圆的离心率e=32,短轴长为2，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程；[来源:Zxxk.Com]（