求三角函数的周期6种方法总结-多个例子详细解答

1如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、定义法例1．求下列函数的周期xy2sin)1(,32tan)2(xy．(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个x值都能使xTx2sin)(2sin＝成立，同时考虑到正弦函数xysin的周期是2．解：∵)(2sin)22sin(2sinxxx,即xx2sin)(2sin．∴当自变量由x增加到x时，函数值重复出现，因此xy2sin的周期是．(2)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个x值都能使32tan)(32tanxTx成立，同时考虑到正切函数xytan的周期是．解：∵)23(32tan)32tan(32tanxxx,即32tan)23(32tanxx．∴函数32tanxy的周期是23．例2.求函数（m≠0）的最小正周期。解：因为所以函数（m≠0）的最小正周期例3.求函数的最小正周期。解：因为2所以函数的最小正周期为。例4.求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.解:∵)(xf＝｜sinx｜＋｜cosx｜＝｜－sinx｜＋｜cosx｜＝｜cos(x＋2)｜＋｜sin(x＋2)｜＝｜sin(x＋2)｜＋｜cos(x＋2)｜＝)2(xf对定义域内的每一个x，当x增加到x＋2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2.注意：1、根据周期函数的定义，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如),2()2(xfTxf周期不是T，而是T21；2、”“)()(xfTxf是定义域内的恒等式，即对于自变量x取定义域内的每个值时，上式都成立．直接利用周期函数的定义求出周期。2、公式法对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是||2T，对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是||T．例1．求函数)623sin(3xy的周期解：34232T．例2．求函数的最小正周期。解：因为所以函数的最小正周期为。3例3．求函数的最小正周期。解：因为，所以函数的最小正周期为。3、同角函数法例4．求函数xxxy2sin2cossin32的周期解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx∴22T．例5．求函数的最小正周期。解：因为所以函数的最小正周期为。例5．已知函数),3cos3(sin3sin)(xxxxf求周期4解：∵32sin21)32cos1(213cos3sin3sin)(2xxxxxxf)432sin(2221)32cos32(sin2121xxx∴3322T．4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式2||aa,化去绝对值符号再求周期例6.求函数|cos|xy的周期解：∵22cos1cos|cos|2xxxy∴22T．例7．求函数|cos||sin|xxy的周期解：∵xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos||sin||cos||sin|22)4cos1(21124cos11xx∴函数|cos||sin|xxy的最小正周期242T．5、最小公倍数罚:若函数)()()(21xfxfxfyk，且)(,),(),(21xfxfxfk，都是周期函数，且最小正周期分别为kTTT,,21，如果找到一个正常数T,使kkTnTnTnT2211，(knnn,,,21均为正整数且互质)，则T就是)()()(21xfxfxfyk的最小正周期．例1．求函数xxy21cossin的周期解：∵xsin的最小正周期是21T，x21cos的最小正周期是42T．∴函数y的周期2211TnTnT，把21TT，代入得2142nn，即212nn，因为21,nn为正整数且互质，所以1,221nn．函数xxy21cossin的周期42211TnT．例2．求函数xxy43cos32sin的周期5解：∵x32sin的最小正周期是33221T，x43cos的最小正周期是384322T，由2211TnTn，21383nn，2189nn(21,nn为正整数且互质),得9,821nn．所以函数xxy43cos32sin的周期是243811TnT．例3.求函数的最小正周期。解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和的最小公倍数是。所以函数的最小正周期为。例4.求函数的最小正周期。解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是，所以函数的最小正周期为T＝。例5.求函数的最小正周期。解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期，sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。所以函数的最小正周期为T＝。例6.求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则52,3221TT，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.6例7.求y＝sin3x＋tan52x的最小正周期.解：∵sin3x与tan52x的最小正周期是32与25，其最小公倍数是110＝10π.∴y＝sin3x＋tan52x的最小正周期是10π.注：1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。6、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。例1.求函数的最小正周期。解：函数的图像为图1。图1由图1可知：函数的最小正周期为。例2.求y＝｜sinx｜的最小正周期.解：由y＝｜sinx｜的图象：可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.