3.6回归模型的参数约束

73§3.6受约束回归在建立回归模型时，有时根据经济理论需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。如上节建立中国城镇居民对食品的消费需求函数时，根据需求函数的一般理论，它应满足零阶齐次性条件，即双对数线性模型中各变量前的参数和为零。同样地，在估计以幂函数的形式表示的生产函数模型时，有时也施加产出关于资本与劳动的弹性和为1的约束。模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restrictedregression），与此对应，不加任何约束的回归称为无约束回归（unrestrictedregression）。一、模型参数的线性约束一般地，估计线性模型时可对模型参数施加若干个线性约束条件。如对模型kkXXXY22110（3.6.1）可施加121，kk1（3.6.2）于是，对（3.6.1）的回归可转化为对施加上述条件后如下模型的回归：*11121110)1(kkkkXXXXY(3.6.3)或**1133*110*kkXXXY（3.6.4）其中，2*XYY，21*1XXX，kkkXXX1*1如果运用普通最小二乘法得到参数的估计结果1310ˆ,,ˆ,ˆ,ˆk，可由上述约束条件得到12ˆ1ˆ，1ˆˆkk。然而，对所考查的具体问题能否施加约束条件，或者说能否直接对施加约束后的模型进行回归，还需进一步进行相应的检验。常用的检验有F检验、2检验与t检验，这里主要介绍F检验。在同一数据样本下，记无约束样本回归模型的矩阵式为eβXYˆ（3.6.5）记受约束样本回归模型的矩阵式为**ˆeβXY（3.6.6）于是，受约束样本回归模型的残差项可写为)ββX(eβXeβXβXYe****ˆˆˆˆˆ得受约束样本回归模型的残差平方和RRSS74)ββX(X)ββ(eeee****ˆˆˆˆ（3.6.7）式中第二项为一非负标量，于是eeee**(3.6.8)其中，ee为无约束样本回归模型的残差平方和URSS。在（3.6.5）与（3.6.6）两个回归模型中，有着相同的被解释变量Y与相同的数据样本，于是Y的总离差平方和TSS也相同。（3.6.8）式表明受约束样本回归模型的残差平方和不小于无约束样本回归模型的残差平方和，于是，受约束样本回归模型的回归平方和RESS不大于无约束样本回归模型的回归平方和UESS。这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解释能力。但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力，从而使得URSS与RRSS的差异变小。于是，可用URRSSRSS的大小来检验约束条件的真实性。根据数理统计学的知识，2/RSS~)1(2kn，其中k为回归模型中解释变量的个数，2为回归模型随机扰动项的方差。于是，)1(~/22UUknRSS（3.6.9）)1(~/22RRknRSS(3.6.10))(~/)(22RUURkkRSSRSS（3.6.11）其中，Uk，Rk分别为无约束与受约束回归模型的解释变量的个数。于是可通过计算（3.6.11）式的2统计量来进行相应的2检验。当然，由于随机扰动项的方差2往往未知，检验时需用它的估计量2ˆ替代。由（3.6.9）式与（3.6.11）式，可进一步得到如下的F统计量)1,(~)1/()/()(URUUURUURknkkFknRSSkkRSSRSSF（3.6.12）F统计量无需估计随机扰动项的方差2。根据该统计量，如果约束条件无效，则RRSS与URSS的差异较大，计算的F值也较大。于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下的临界值作比较，来对约束条件的真实性进行检验。需注意的是，RUkk恰为约束75条件的个数。例3.6.1在§3.5节中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中，无约束回归模型（3.5.18）式的残差平方和URSS=0.00324，受约束回归模型（3.5.19）式的残差平方和RRSS=0.00332，样本容量n=14，无约束回归模型变量个数Uk=3，约束条件个数RUkk=3-2=1。于是231.010/003240.01/)003240.0003315.0(F在5%的显著性水平不，自由度为（1，10）的F统计量的临界值为05.0F=4.96。计算的F值小于临界值，不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。需要指出的是，这里介绍的F检验适合所有关于参数线性约束的检验，§3.4节中对回归模型总体的线性性检验，可以归结到这里的F检验上来。如对线性模型kkXXXY22110的总体线性性检验，就是要检验联合假设：0H：0j，kj,,2,1因此，受约束回归模型为*0Y由（3.6.12）式，检验的Ｆ统计量为)1/(/)1/(/)()1/(/)()1/()/()(knRSSkESSknRSSkRSSTSSknRSSkRSSESSTSSknRSSkkRSSRSSFUUUUUURUURUUR这里，运用了受约束回归模型的回归平方和RESS＝０。二、对回归模型增加或减少解释变量在建立回归模型时，一个重要的问题是如何判断增加重要的解释变量或去掉不必要的解释变量。t检验可对单个变量的取舍进行判断，而上面介绍的Ｆ检验除能对单个变量的取舍进行判断外，还可对多个变量的同时取舍进行判断。考虑如下两个回归模型：kkXXY110(3.6.13）qkqkkkkkXXXXY11110（3.6.14）（3.6.13）式可以看成是（3.6.14）式施加如下约束条件的受约束回归：760H：021qkkk（3.6.15）相应的Ｆ统计量为：))1(,(~))1(/(/)())1(/(/)(qknqFqknRSSqESSESSqknRSSqRSSRSSFURUUUR（3.6.16）如果约束条件为真，即额外的变量qkkXX,,1对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；否则，约束条件为假，意味着额外的变量qkkXX,,1对Ｙ有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。因此，可通过给定某一显著性水平下Ｆ分布的临界值与Ｆ统计量的计算值的比较，来判断额外变量qkkXX,,1是否应包括在模型中。由（3.6.16）式可得到Ｆ统计量的另一个等价的式子：))1(/()1(/)(222qknRqRRFURU（3.6.17）式中，2UR、2RR分别为无约束回归与受约束回归方程的可决系数，表明通过变量增减前后回归方程的可决系数2R是否有“足够大”的变化来判断变量的增减与否。三、参数的稳定性1、邹氏参数稳定性检验建立模型时往往希望模型的参数是稳定的，即所谓的结构不变，这将提高模型的预测与分析功能。然而，经济结构的变化往往导致计量模型结构也发生变化。如§3.5中国城镇居民对食品的人均消费需求例子中，从食品消费支出曲线的变化上容易判断1994年前后这种结构的变化。下面给出一个结构变化的检验。假设我们需要建立的模型为kkXXY110（3.6.1）在两个连续的时间序列（1,,2,1n）与（2111,,2,1nnnn）中，相应的模型分别为1110kkXXY（3.6.18）2110kkXXY（3.6.19）合并两个时间序列为（2111,,1,,,2,1nnnn），则可写出如下无约束回归模型：77212121μμαβX00XYY（3.6.20）其中，αβ,分别是两时间序列对应模型中的参数列向量，)2,1(iiY是对应模型的被解释变量以其样本为元素的列向量，)2,1(iiX是对应模型的解释变量矩阵。如果αβ，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验：0H：αβ（3.6.21）（3.6.20）式施加该约束条件后变换为受约束回归模型212121μμβXXYY（3.6.22）因此，仍可用如下F统计量进行检验：)]1(2,[~)]1(2/[/)(2121knnkFknnRSSkRSSRSSFUUR（3.6.23）其中，URSS与RRSS分别为对应于无约束模型（3.6.20）与受约束模型（3.6.22）的残差平方和。记1RSS与2RSS为两时间序列对应的回归模型（3.6.18）与（3.6.19）在各自时间段上分别回归后所得的残差平方和，容易验证，21RSSRSSRSSU于是，F统计量可写为)]1(2,[~)]1(2/[)(/)]([21212121knnkFknnRSSRSSkRSSRSSRSSFR（3.6.24）因此，对参数稳定性的原假设（3.6.21）的检验步骤为：首先，分别以两个连续的时间序列作为两个样本运用（3.6.1）式进行回归，得到相应的残差平方和1RSS与2RSS；然后，将两序列并为一个大样本后运用（3.6.1）式进行回归，得到大样本下的残差平方和RRSS；最后，通过（3.6.24）式的F统计量，在事先给定的显著性水平下进行假设检验。如果F大于相应的临界值，则拒绝原假设，认为发生了结构变化，参数是非稳定的。该检验也被称为邹氏参数稳定性检验（Chowtestforparameterstability）。2、邹氏预测检验上述参数稳定性检验要求kn2，即第二个时间段中样本数不能小于待估参数的个数。如果出现kn2，则往往进行如下的邹氏预测检验（Chowtestforpredictivefailure）。78邹氏预测检验的基本思想是，先用前一时间段1n个样本估计原模型，再用估计出的参数进行后一时间段2n个样本的预测，如果预测误差较大，则说明参数发生了变化，否则说明参数是稳定的。即需用第一时间段估计的参数jˆ（kj,,2,1），考察第二时间段预测误差)ˆˆˆ(2211kikiiiXXXY的大小。分别以αβ,表示第一时间段与第二时间段的参数，即假设允许预测期出现不同的参数向量，则完整的模型可写为22222222111μγβXμβ)(αXβXμαXYμβXY（3.6.25）其中，)(βαXγ2。如果0γ，则βα，表明参数在估计期与预测期相同。将（3.6.5）写成矩阵式：21n2121μμγβIX0XYY2（3.6.25）其中，2nI为2n阶单位阵。可见，用前1n个样本估计可得前k个参数β的估计，而γ不外是用后2n个样本测算的预测误差βXαX22。如果参数没有发生变化，则0γ，（3.6.25）简化为：212121μμβXXYY（3.6.26）(3.6.25)式与（3.6.26）式分别可看成无约束与受约束回归模型。因此，可用（3.6.12）式的F统计量进行约束的有效性检验：)1/(/)()1/()/()(1121knRSSnRSSRSSknRSSkkRSSRSSFRUURUUR（3.6.27）这里，由于检验的约束为2n个元素的向量0γ，因此，约束共有2n个。另外，在无约束模型（3.6.25）中，已将后2n个观测值的预测误差记入到了γ中，因此，对应的样本残差0e2，这样无约束回归中的总的残差平方和URSS就等于用前1n个样本估计的残差平方和1RSS。邹氏预测检验仍为三步：第一步，在两时间段的合成大样本下做OLS回归，得受约束模型的残差平方和RRSS；第二步，对前一时间段的1n个子样做OLS回归，得残差平方和1RSS；第三步，计算（3.6.27）式