等差数列前n项和公式及性质

2.2等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【课标要求】1.通过实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.理解等差数列前n项和公式推导所体现的数学思想.3.掌握等差数列前n项和公式,会应用公式解决等差数列问题.栏目导航课前预习课堂探究【实例】近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯3岁便能纠正他父亲的借债账目问题,10岁时用很短的时间算出老师布置的任务:对自然数1到100求和.等差数列前n项和公式你知道高斯是怎样求和的吗?(1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050)如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,第n项为an,则前n项和Sn=2)(1naan,若将前n项和用a1,d,n表示,可表示成Sn=1(1)2nnnad.质疑探究:(1)等差数列前n项和是用什么方法得出的?(在推导等差数列前n项和时,充分利用等差数列性质a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)1211nnnnnSaaaSaaa两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an),故Sn=2)(1naan.这是一种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)(2)等差数列的前n项和公式的两种形式Sn=2)(1naan=na1+21n(n-1)d,在具体应用时,应采取哪种形式运算比较合理?(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项a1及末项an,用公式Sn=2)(1naan较好,若已知首项a1及公差d,用公式Sn=na1+12nnd较好)(3)如何理解等差数列{an}中五个量a1,an,n,d,Sn之间的关系?(由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d和前n项和公式Sn=2)(1naan=na1+21n(n-1)d,可以看到等差数列中的五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中的任意三个,可求出剩余的两个)(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…之间有什么关系?(在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等差数列,公差为n2d)试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列的前9项和S9等于(C)(A)18(B)27(C)36(D)45(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则a1+a2+…+a17=.解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,∴S9=199()2aa=982=36.故选C.(2)由题意得an+1-an=2,∴数列{an}是公差为2的等差数列,又a1=-7,∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+17162×2=153.答案:(1)C(2)153等差数列的前n项和的基本运算【例1】在等差数列{an}中,(1)d=3,an=20,Sn=65,求n;(2)已知a16=3,求S31.名师导引:(1)已知d、an、Sn,求n还需知道什么量?(需知a1的值,代入前n项和公式Sn=2)(1naan求解)(2)由a16怎么求S31?(S31=31a16)解:(1)d=3,an=20,Sn=65,由Sn=2)(1naan,得65=2031202nn.得n=10,n=133(舍去).(2)S31=131()2aa·31=a16·31=3×31=93.已知等差数列的五个量a1、d、an、n、Sn的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差数列的性质和整体代入思想的应用)跟踪训练1-1:(1)已知a1=14.5,an=32,Sn=604.5,求n.(2)已知Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N*,求Sm+n.(3)已知an=11,Sn=35,d=2,求a1,n.解:(1)已知a1=14.5,an=32,Sn=604.5,∴604.5=(14.532)2n,解得n=26.(2)由已知得111,21,2nnmnadmmnmad两式相减得a1+12mnd=-1.再由Sn=na1+2)1(nnd可得Sm+n=(m+n)a1+12mnmnd=(m+n)(a1+12mnd)=-(m+n).(3)由已知得112111,135,annann解得13,5an或11,7.an等差数列前n项和性质的应用【例2】(12分)一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求此数列的首项、公差以及项数.名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶数项之和的值及最后一项与第一项之差,要求a1,d,n应怎样应用条件求解?(法一:设数列的项n=2k(k∈N*),由S偶-S奇=kd及an-a1=(2k-1)d建立方程组求解.法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)解:法一设此数列首项为a1,公差为d,项数为2k(k∈N*),由已知得21243021,2kSSaa奇偶，………………………2分216,212kSSaa偶奇，…………………………4分6,21212kdkd，………………………6分解得4,32kd，…………………………8分因为S2k=2ka1+21×2k(2k-1)d=8a1+42.所以8a1+42=54…………………………10分故a1=23,所以数列的首项是23,公差是23,项数是8.………12分法二设此数列首项为a1,公差为d,项数为2k(k∈N*),根据题意,得21243021,2kSSaa奇偶，即12122124,2130,22121,2kkkaakaakd……6分即11124,30,2121,2kakdkakdkd……………………8分解得13,23,24.adk………………………10分所以此数列首项为23,公差为23,项数为8.…………………………………12分跟踪训练2-1:一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.解:法一设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+2)1(nnd.由已知得1110910100210099100102adad①②①×10-②,整理得d=-1150,代入①,得a1=1099100.∴S110=110a1+1101092d=110×1099100+1101092×1150=110109910911100=-110.故此数列的前110项之和为-110.法二数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为d,前10项和10S10+1092·d=S100=10,d=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)d=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-110.等差数列前n项和比值问题【例3】已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn、Tn,且nnST=713nn,则2517228101216aaaabbbb=.名师导引:(1)2517228101216aaaabbbb能进一步化简吗?（2517228101216aaaabbbb=2225178161012aaaabbbb=111211122222aabb=11121112aabb）(2)求11121112aabb的值需转化为什么量?（转化为求2222ST的值）解析:2517228101216aaaabbbb=2225178161012aaaabbbb=11121112aabb=11121112222222aabb=122122222222aabb=2222ST=7221223=315.答案:315解本题的关键是什么?应用了什么基本思想?（解题关键根据等差数列的性质化2517228101216aaaabbbb为2222ST;体现了转化与化归思想）跟踪训练3-1:(2013即墨实验高中质检)两等差数列{an}和{bn},前n项和分别为Sn,Tn,且nnST=5241nn,则220715aabb等于.解析:220715aabb=111122ab=121121aabb=121121212212aabb=2121ST=52124211=10785.答案:10785点击进入课后作业