非平稳时间序列

1前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。§5.3非平稳时间序列建模2然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的某些数字特征是随着时间的变化而变化的。非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。3图5.9中国1978年～2006年的生产法GDP序列41.确定性时间趋势描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势(5.3.1)其中ut是平稳序列；a+t是线性趋势函数。这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式(5.3.1)中减去a+t，结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势。ttutay§5.3.1非平稳序列和单整5一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：(5.3.2)t=1,2,,T同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果yt能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。tnntutttay22162.差分平稳过程非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具有平稳性的序列，考虑下式(5.3.3)也可写成(5.3.4)tttuyay1tttuayLy)1(其中a是常数，ut是平稳序列，若ut～i.i.d.N(0,2)，且ut是一个白噪声序列。若令a=0，y0=0，则由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t2（t=1,2,,T），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的随机游走，说明yt的差分序列yt是平稳序列。7实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未来信息的。8残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，以使残差序列达到平稳。一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规律。93.单整像前述yt这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为单整(integration)序列。定义如下：定义：如果序列yt，通过d次差分成为一个平稳序列，而这个序列差分d–1次时却不平稳，那么称序列yt为d阶单整序列，记为yt～I(d)。特别地，如果序列yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为yt～I(0)。10单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整I(2)；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为1阶单整I(1)；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整I(0)。11§5.3.2非平稳序列的单位根检验检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单位根检验方法：ADF检验、DFGLS检验、PP检验、KPSS检验、ERS检验和NP检验，本节将介绍DF检验、ADF检验。ADF检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。12其中a是常数，t是线性趋势函数，ut～i.i.d.N(0,2)。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)1.DF检验为说明DF检验的使用，先考虑3种形式的回归模型13(1)如果-11，则yt平稳（或趋势平稳）。(2)如果=1，yt序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：显然yt的差分序列是平稳的。(3)如果的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。ttttuyyy1tttuyy)1(14因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验是否严格小于1来实现。也就是说：原假设H0：=1，备选假设H1：1tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)从方程两边同时减去yt-1得，其中：=-1。15其中：=-1，所以原假设和备选假设可以改写为可以通过最小二乘法得到的估计值，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显著性的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，它依赖于回归的形式(是否引进了常数项和趋势项)和样本长度T。0:0:10HHˆˆ16Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过t统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为Dickey-Fuller检验(DF检验)。上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方法（augmentedDickey-Fullertest）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。172.ADF检验考虑yt存在p阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，在上式两端减去yt-1，通过添项和减项的方法，可得其中tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay111ΔΔ11piipijji118ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt的滞后差分项来控制高阶序列相关tpiitittuyyy11tpiitittuyayy11tpiitittuytayy11(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19扩展定义将检验(5.3.14)原假设为：至少存在一个单位根；备选假设为：序列不存在单位根。序列yt可能还包含常数项和时间趋势项。判断的估计值是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列AR(p)过程是否存在单位根。类似于DF检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验不同显著性水平的t统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。0:0:10HHˆˆ20但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际问题：（1）必须为回归定义合理的滞后阶数，通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。（2）可以选择常数和线性时间趋势，选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。21①若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。②若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。223.DFGLS检验在经验研究中，尽管DF检验的DF统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，DF检验和ADF检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和ADF检验的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退势DF检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：23首先定义序列yt的拟差分序列如下：t=1,2,,T并且构造如下回归方程：t=1,2,,T(5.3.14)其中xt=(1)表示yt中只含有截距项，或xt=(1,t)表示yt中含有截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量，在实际计算中通常如下定义参数a：11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(δx},1{/5.131}1{/71tifTifTattxx24利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列ytd为t=1,2,,T然后，对退势后的序列ytd，应用ADF检验，即为DFGLS检验。检验过程如下：t=1,2,,T原假设和备选假设同ADF检验一致，为Elliott，Rothenberg和Stock(1996)给出了不同置信水平下的临界值，DFGLS检验同一般的ADF检验一样是左侧单边检验。)(ˆayyttdtxtpiditidtdtuyyy1110:0:10HH25EViews软件中单位根检验操作说明：双击序列名，打开序列窗口，选择View/unitRootTest，得到下图：单位根检验窗口26进行单位根检验必须定义4项：1．选择检验类型在Testtype的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供了6种单位根检验的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test272．选择差分形式在Testforunitrootin中确定序列在水平值、一阶差分、二阶差分下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。283．定义检验方程中需要包含的选项在Includeintestequation中定义在检验回归中是否含有常数项、常数和趋势项、或二者都不包含。这一选择很重要，