3.1.3概率的基本性质

3.1.3概率的基本性质在掷骰子试验中，可以定义许多事件，例如：C1=｛出现1点｝,C2=｛出现2点｝，C3=｛出现3点｝C4=｛出现4点｝，C5=｛出现5点｝，C6=｛出现6点｝D1=｛出现的点数不大于1｝D2=｛出现的点数大于3｝D3=｛出现的点数小于5｝，E=｛出现的点数小于7｝，F=｛出现的点数大于6｝，G=｛出现的点数为偶数｝，H=｛出现的点数为奇数｝。……1.事件包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B）A(或ABBA不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件。一般地，若，那么称事件B与事件A相等，记作A=B。BAAB，且2.事件相等关系3.事件的并(或和)若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）。4.事件的交(或积)若某事件发生当且仅当事件A且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）。(B)A若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。5.事件的互斥AB若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。6.对立事件１.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()(A)至多有一次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都不中靶２.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()(A)对立事件(B)互斥但不对立事件(C)不可能事件(D)以上都不对DB练习2.概率的几个基本性质(2)当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)．由此得到概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）(1)对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1不可能事件的概率是P（A）=0必然事件的概率是P（A）=1不可能事件与必然事件是一般事件的特殊情况利用上述的基本性质，可以简化概率的计算(3)特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有P（A）=1-P（B）例１、抛掷骰子，事件A=“朝上一面的数是奇数”，事件B=“朝上一面的数不超过3”，求P（A∪B）解法一：因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1解法二：A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5所以P（A∪B）=4/6=2/3请判断那种正确！例题4141例2如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是取到方块（事件B）的概率是问：（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．2121解：（1）P(C)=P(A)+P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=练习1．同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有()A．M⊆NB．M⊇NC．M＝ND．MN[答案]A[解析]事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生．则有M⊆N.2．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P＝{向上的点数是1}，事件Q＝{向上的点数是3或4}，M＝{向上的点数是1或3}，则P∪Q＝________，M∩Q＝________.[答案]{向上的点数是1或3或4}{向上的点数是3}3．在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是________．[答案]至少有一件是二级品4．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于()A．0.4B．0.5C．0.6D．1[答案]A[解析]P(B)＝1－P(A)＝0.4.5．已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，且A与B是互斥事件，则P(A∪B)＝________.[答案]0.3[解析]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.•事件关系的判断一个射击手进行一次射击．事件A：命中的环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中的环数小于6环；事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环．判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)事件A与B；(2)事件A与C；(3)事件C与D.[解析](1)不是互斥事件，更不可能是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即A∩B＝{命中环数为10环}．(2)是互斥事件，但不是对立事件．理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但A∪C＝{命中环数为1、2、3、4、5、8、9、10环}≠I(I为全集)．(3)是互斥事件，也是对立事件．理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环不可能同时发生，且C∪D＝{命中环数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10环}＝I(I为全集)．规律总结：互斥事件与对立事件的判断方法：(1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．两个事件是对立事件的前提是互斥事件．(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝Ø；②事件A与B对立，即集合A∩B＝Ø，且A∪B＝I(I为全集)，也即．A＝∁IB或B＝∁IA.[特别提醒]对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件则可以是多个事件间的关系．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.[分析]列举所有结果→是否可以同时发生→判断是否互斥→是否必有一个发生→判断是否对立[解析](1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．•概率加法公式的应用黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[分析]将比例化为概率→分析事件之间的关系→运用概率的加法公式解题[解析](1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[易错警示]不能由于只有四种血型就简单地认为四种情况的概率都是0.25.本题中某种血型的人所占的比例其实就是任代一人，他是该血型的概率．•规律总结：解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示：等候人数01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06求：(1)等候人数不超过1的概率；(2)等候人数大于等于4的概率．[解析]设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥．(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0.05＋0.14＝0.19，即等候人数不超过1的概率为0.19.(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D.故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0.10＋0.06＝0.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16.对立事件概率公式的应用甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，求：(1)甲胜的概率；(2)甲不输的概率．[分析]构造对立事件→灵活运用概率加法公式→求概率[解析](1)“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.(2)方法一：设“甲不输”为事件A，可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝16＋12＝23.方法二：设“甲不输”为事件A，可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律总结：求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化面几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类大多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率．[分析]判断事件间的关系→利用对立事件的概率公式求解[解析]记事件A表示“取出的2个球中至少有1个红球”，事件B表示“取出的2个球全是白球”，则事件A与事件B互为对立事件，而事件B发生的概率为P(B)＝0.3，所以事件A发生的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－0.3＝0.7.●误区警示抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A∪B)．[错解]设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝16.则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝16＋16＋16＝12.P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝16＋16＋16＝12.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B