等差数列的性质第二课时

第二课时等差数列的性质1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用．4．掌握等差中项的概念与应用.1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点，难点)2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．3．若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则a1＋a6＝23，a2＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能看出有什么规律吗？1．等差数列增减性对于数列an＝a1＋(n－1)d(1)当d＞0时，{an}为；(2)当d＜0时，{an}为；(3)当d＝0时，{an}为递增数列递减数列常数列．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝3．等差数列的其它常用性质a，A，b成等差数列a＋b2.性质1若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝性质2若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1a1＋an＝a2＋＝a3＋＝…性质3若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以为公差的等差数列性质4若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列am＋anan－1an－2pd1＋qd2md1．下列说法中，正确的是()A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列D．若{an}是等差数列，则对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2答案：D2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A．9B．20C．9.5D．33解析：方法一：∵a1＋a4＋a7＝45∴3a4＝45又∵a2＋a5＋a8＝39∴3a5＝39∴d＝a5－a4＝13－15＝－2a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝33，故选D.方法二：∵{an}是等差数列，∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，首项为45，公差为39－45＝－6，∴a3＋a6＋a9＝39－6＝33.答案：D3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．答案：－34．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝__________.答案：35．在等差数列{an}中：(1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13；(3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15.解析：(1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7，而a2＋a3＋a10＋a11＝48，∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2，即2a8－3a8＝2.∴a8＝－2.∴a3＋a13＝2a8＝－4.(3)∵a3＋a11＝2a7＝10，∴a7＝5.又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15.∴a2＋a4＋a15＝15.等差数列性质的应用(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式；(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和公差d，得出通项公式；(2)既可以先求a5，也可以通过首项与公差求解．[解题过程](1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5，∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9.∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根若a2＝1，a6＝9,则d＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.∴a2＝1，a6＝9，或a2＝9，a6＝1.(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.[题后感悟]求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的方程组求解.等差数列的项与项数有着密切的联系，由m＋n＝k＋l＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解决等差数列的有关问题中应用非常简便．1．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意n(n∈N＋)，an，bn，an＋1成等差数列，且an＋1＝bn·bn＋1.(1)求证：数列{bn}是等差数列．(2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．第(1)问可利用等式2bn＝an＋an＋1，把an，an＋1用bn－1，bn，bn＋1代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问，可利用第(1)问的结论，先求bn，再求bn和an.[解题过程](1)由题意知，an＞0，bn＞0，且2bn＝an＋an＋1，又∵an＝bn－1·bn(n≥2)，∴2bn＝bn－1·bn＋bn·bn＋1.∵bn＞0，∴2bn＝bn－1＋bn＋1，即bn＋1－bn＝bn－bn－1(n≥2)，故数列{bn}为等差数列．(2)由a1＝1，a2＝2得b1＝a1＋a22＝32.又由an＋12＝bn·bn＋1得a22＝b1·b2，∴b2＝a22b1＝83.∴b1＝32＝62，b2＝83＝236.∴数列{bn}的公差d＝b2－b1＝66.∴bn＝62＋(n－1)·66＝66(n＋2)，∴bn＝16(n＋2)2，∴an2＝bn－1·bn＝16(n＋1)2·16(n＋2)2，∴an＝16(n＋1)(n＋2)．[题后感悟](1)到目前为止，判断一个数列{an}为等差数列的方法有：①定义法，即an＋1－an＝d；②通项公式法，即an＝An＋B；③等差中项法(无穷数列)，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)．(2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c.2．已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．证明：证法一：∵1a，1b，1c为等差数列，∴2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．∵b＋ca＋a＋bc＝cb＋c＋aa＋bac＝c2＋a2＋ba＋cac＝a2＋c2＋2acac＝2a＋c2ba＋c＝2a＋cb，∴b＋ca，a＋cb，a＋bc为等差数列．证法二：∵1a，1b，1c成等差数列．∴各项均乘以a＋b＋c得a＋b＋ca，a＋b＋cb，a＋b＋cc即b＋ca＋1，a＋cb＋1，a＋bc＋1成等差数列．∴b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[策略点睛][规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.即1－d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得1－32d1＋32d＝－8，[题后感悟]利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．3．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数．解析：设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d依题意可得，a－3d2＋a－d2＋a＋d2＋a＋3d2＝94a－da＋d－a－3da＋3d＝18..化简可得4a2＋20d2＝94，8d2＝18，∴d＝32，a＝72，或d＝32，a＝－72，或d＝－32，a＝－72，或d＝－32，a＝72.∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或1，－2，－5，－8或8,5,2，－1.1．等差数列通项公式的推广由等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，容易得到an＝am＋(n－m)d，这可以看作等差数列通项公式的推广公式．事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d＝a1＋(n－1)d＝an.2．等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率k＝fx2－fx1x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．d＝am－anm－n其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时，d＝0，公式也仍然成立．3．等差数列的“子数列”(1)在公差为d的等差数列{an}中，可以有规律的选择出某些项，使它们组成新的等差数列．如数列{a2n}，{a2n＋1}，{an＋an＋1}，{an－an＋1}，{a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…}，等都是等差数列，公差分别为2d,2d,2d,0,9d.(2)若{kn}成等差数列，则{akn}也成等差数列．这就是说，若等差数列{an}中项数成等差数列，则对应的项也成等差数列．(