2-2第2课时----等差数列的性质

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引第2课时等差数列的性质No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2.理解等差数列的性质．3.掌握等差数列的性质及其应用.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.对等差数列性质的考查是本课的热点．2.本课时内容常与解析几何、不等式结合命题．3.多以选择题、解答题的形式命题.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．2．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．3．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.2同一公差da，A，b成等差数列No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引等差数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)性质2若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an性质3若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列性质5若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列(n－m)dmdNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10解析：∵a1＋a9＝2a5∴a5＝5答案：ANo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引解析：由题意知a4＋a5＝a2＋a7∴a2＝15－12＝3，故选A.答案：A2．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝()A．3B．－3C.32D．－32No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于________．解析：设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100.答案：100No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引4．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.解析：方法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a3＋a9＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝13.∴a3＋a9＝2a6＝23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二：根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝13.∴a3＋a9＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引由题目可获取以下主要信息：①3＋7＝4＋6＝2×5＝2＋8.②a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8.解答本题可用等差数列的性质，对于(2)也可以用等差数列的通项公式．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[解题过程](1)因为a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5，所以5a5＝450，所以a5＝90.又因为a2＋a8＝2a5，所以a2＋a8＝180.(2)方法一：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二：因为a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，所以a1＋14d＝8a1＋59d＝20，解得a1＝6415d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[题后感悟]等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引1.已知等差数列{an}中，(1)a2＋a8＋a14＝1，求a3＋a13；(2)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(3)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引解析：(1)方法一：根据等差数列的性质a2＋a14＝a3＋a13＝2a8由a2＋a8＋a14＝1，得3a8＝1，解得a8＝13.∴a3＋a13＝2a8＝23.方法二：根据等差数列的通项公式，得a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d)＝3a1＋21d.由题意知3a1＋21d＝1，即a1＋7d＝13.∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝23.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(2)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.(3)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解a2·a5＝52，a2＋a5＝17，得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.∴d＝a5－a25－2＝13－43＝3或d＝a5－a25－2＝4－133＝－3.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引由题目可获取以下主要信息：①根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；②四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．解答本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，4分故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，2分依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，4分这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，8分依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.10分又四个数成递增等差数列，所以d0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.12分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引方法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，8分依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得1－32d1＋32d＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.10分No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.12分[题后感悟]利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引2.已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解析：设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.由题设知：4a＝26a－da＋d＝40，解之得a＝132d＝32或a＝132d＝－32.故这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该公司经销这一产品将会出现亏损？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{an}，且当an0时，该公司将会出现亏损．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[解题过程]设第n年的利润为an万元，则a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*，所以每年的利润an可构成一个首项为200，公差为－20的等差数列{an}，从而an＝220－20n.若an0，则该公司经销这一产品将会出现亏损，令an＝220－20n0，解得n11.又n∈N*，所以n＝12.故从第12年起，该公司经销此产品将会出现亏损．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引[题后感悟]本例中由于公差小于零，所以该数列是一个递减数列．想一想，如果规定当该产品的利润降到50万元以下时就放弃经销此产品，那么该公司应从第几年起放弃经销此产品？(1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第二章数列栏目导引3.有一批影碟机原销售价为每台800元，在