高中数学3-4-2基本不等式的应用—最值问题课件新人教A版必修

3．4基本不等式ab≤a＋b2第三章第三章第2课时基本不等式应用—最值问题课前自主预习思路方法技巧名师辨误作答课后强化作业课堂巩固训练理解领会基本不等式成立时的三个限制条件，熟练应用基本不等式求解实际问题中的最大、最小值问题．1．分析下列各题的解题过程，有错误的加以更正．(1)求函数y＝sinx＋2sinx(0xπ2)的值域．解：y＝sin＋2sinx≥2sinx·2sinx＝22，∴函数的值域为[22，＋∞)．(2)求x1－x2的最大值．解：令y＝x1－x2，则y＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12，等号在x2＝1－x2，即x＝±22时成立，∴所求最大值为12.(3)已知a＞3，求a＋4a－3的最小值．解：∵a＞3，∴a，4a－3＞0.∴a＋4a－3≥2a·4a－3.当a＝4a－3，即a＝4时，a＋4a－3取最小值24aa－3＝8.[解析](1)此解答过程错误，错在忽视了应用基本不等式求最值时，等号成立的条件．正解：∵0＜x＜π2，∴0＜sinx＜1，但sinx＝2sinx时sinx＝2，不符合正弦函数值域要求，故这里不符合基本不等式成立的条件，因此取不到值y＝22.令u＝sinx，∵0xπ2，，0u1，∴可利用y＝u＋2u在(0,1)上是减函数得出y＞3.∴此函数值域为(3，＋∞)．(2)此解答过程错误，当x0时，y＝x1－x2≠x21－x2，忽视了对符号的关注．正解：由1－x2≥0知－1≤x≤1，当0＜x≤1时，x1－x2＝x21－x2≤x2＋1－x22＝12，等号在x2＝1－x2即x＝22时成立；当x＝0时，x1－x2＝0，当－1≤x＜0时，x1－x2＜0，∴x1－x2的最大值为12.(3)此解答过程不对，它没有找出定值条件，只是形式的套用公式．正解：利用a＞3的条件及结构式中一为分式，一为整式的特点配凑：a＋4a－3＝(a－3)＋4a－3＋3≥2a－3·4a－3＋3＝7，等号在a－3＝4a－3即a＝5时成立．重点：基本不等式的应用．难点：将实际问题化为不等式问题．1．基本不等式的功能在于和与积的互化，应用基本不等式求最值时一定要注意其“一正、二定、三相等”的条件，实际解题时主要技巧是“拆项”，“添项”，“配凑因式”．2．由基本不等式导出的结论．(1)反向不等式：a＋b≤2a2＋b2(a，b∈R＋)，由a2＋b2≥2ab，两边同加上a2＋b2得2(a2＋b2)≥(a＋b)2开方即得．(2)ab≤(a＋b2)2，(a，b∈R＋)，由a＋b2≥ab两边平方即得．(3)一个重要不等式链：b≥a＞0时，b≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b＝21a＋1b≥a.3．注意函数f(x)＝x＋1x是常遇到的一个函数，根据基本不等式知，x＞0时，f(x)≥2，x＜0时，f(x)≤－2，其值域为(－∞，－2]∪[2、＋∞)．另外其单调性为：在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0)上单调递减，(0,1]上单调递减，[1，＋∞)上单调递记忆方法是|x|很大(|x|＞1)时，1x可忽略，其单调性与y＝x单调性相同，|x|很小(|x|＜1)时，x可忽略，其单调性与y＝1x单调性同．进而可扩展到f(x)＝x＋kx(k＞0)的情形．命题方向变形技巧：“1”的代换[例1]已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．[分析]灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以1”，“除以1”或将不等式中的某个常数用等于1的式子代替．本例中可将分子中的1用x＋2y代替，也可以将式子1x＋1y乘以x＋2y.[解析]∵x，y为正数，且x＋2y＝1.∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.[点评](1)本题若由1＝x＋2y≥22xy，得1xy≥22，∴1x＋1y≥21xy＝2xy≥42则是错误的，因为此时等号取不到：前一个不等式成立的条件是x＝2y＝12，后一个不等式则是在x＝y时成立．(2)也可以直接将1x＋1y的分子1代换为x＋2y，和乘以“1”是相同的．已知x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[分析]要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，考虑条件式可进行“1的代换”，也可以“消元”等．[解析]解法1：(1的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x＞0，y＞0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法2：(消元法)由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.∵x＞0，y＞0，∴y＞9.x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y＞9，∴y－9＞0，∴y－9＋9y－9≥2y－9·9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号，此时，x＝4，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.解法3：(配凑法)由1x＋9y＝1得，y＋9x＝xy，∴(x－1)(y－9)＝9.∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2x－1y－9＝16.当且仅当x－1＝y－9时取等号．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.[点评]本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制．(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)命题方向变形技巧：拆项与配凑[例2]y＝x2＋4x＋1(x－1)的值域为________．[分析]分子是x的二次式，分母是一次式，适当将分子变形可化为x＋1的表达式或由分母构造平方差，则可化为“积为定值”的和式．[解析]y＝x2＋4x＋1＝x＋12－2x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－2≥25－2(x＋10)，等号在x＋1＝5x＋1，即x＝5－1时成立，∴函数的值域为[25－2，＋∞)．[点评]还可以如下进行y＝x2＋4x＋1＝x2－1＋5x＋1＝x－1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－2.已知正数x、y满足4x＋9y＝1，则xy有()A．最小值12B．最大值12C．最小值144D．最大值144[答案]C[解析]解法1：∵x，y∈R＋，∴1＝4x＋9y≥236xy＝121xy，∴xy≥144.等号在4x＝9y＝12，即x＝8，y＝18时成立．解法2：xy＝xy·1＝xy·(4x＋9y)＝4y＋9x≥4y·9x＝12xy，∴xy≥144.等号在4y＝9x4x＋9y＝1即x＝8，y＝18时成立，故选C.解法3：(消元法)由4x＋9y＝1得y＝9xx－4，∵y0，x0，∴x－40，∴xy＝9x2x－4＝9·x2－16＋16x－4＝9·(x－4＋16x－4＋8)≥9(2x－4·16x－4＋8)＝144.等号在x－4＝16x－4，即x＝8时成立，此时y＝9×88－4＝18，∴xy的最大值为144.[例3](1)在面积为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？(2)在周长为定值的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？[解析]设扇形中心角为θ，半径r，面积s，弧长l，则s＝12lr＝12θr2，l＝rθ.(1)s为定值，则θ＝2sr2，∴扇形周长p＝2r＋l＝2r＋rθ＝2r＋2sr≥4s.等号在r＝sr即r＝s时成立，∴半径是s时扇形周长最小．(2)周长p＝2r＋rθ一定，∴θ＝pr－2，面积s＝12θr2＝12r(p－2r)＝r(p2－r)≤[r＋p2－r2]2＝p216，等号在r＝p2－r即r＝p4时成立，∴半径r＝p4时，面积最大．如图，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它沿AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB＝x，求△ADP的最大面积及相应的x值．[分析]要求△ADP的最大面积，首先要写出△ADP的面积表达式．由于AD＝12－x，关键是要将DP用x表示出来．从图中看到，DP＝PB′，AP＝x－DP，于是在△ADP中运用勾股定理，可以将DP用x表示出来．[解析]如图，因为AB＝x，所以AD＝12－x.又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，整理得DP＝12－72x.因此△ADP的面积S＝12AD·DP＝12(12－x)·12－72x＝108－6x＋432x.∵x＞0，∴6x＋432x≥26x·432x＝722.∴S＝108－6x＋432x≤108－722.当且仅当6x＝432x时，即当x＝62时，S有最大值108－722.答：当x＝62时，△ADP的面积有最大值108－722.命题方向综合应用[例4]设a＞b＞c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，则m的取值范围是__________．[答案](－∞，4][分析]由a＞b＞c知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.因此，不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m，要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可．[解析]∵a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立．∴m≤4，即m∈(－∞，4]．[点评](1)分离m以后，注意到a－c＝(a－b)＋(b－c)是求解a－ca－b＋a－cb－c的最小值的关键．(2)注意到a＞b＞c.及式子1a－b＋1b－c≥ma－c中分母都是多项式略嫌复杂，可换元简化．令x＝a－b＞0，y＝b－c＞0.则a－c＝x＋y.∴1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，即：1x＋1y≥mx＋y恒成立．即：m≤(x＋y)(1x＋1y)恒成立．∵(x＋y)(1x＋1y)＝2＋yx＋xy≥2＋2yx·xy＝4等号在x＝y即a－b＝b－c也就是b＝a＋c2时成立．∴m≤4时原表达式恒成立．这样我们通过换元，简化了表达式，暴露了条件式的实质，拓展了解题的思路，要认真体会．[例5]已知a0，b0，且1a＋9b＝1，求a＋b的最小值．[错解]∵a0，b0∴1a＋9b≥29ab＝61ab，∴61ab≤1，∴1ab≤136，∴ab≥36.∴a＋b≥2ab≥12.∴a＋b的最小值为12.[辨析]上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为1a＝9b，即b＝9a，第二次等号成立的条件为a＝b，故a＋b取不到最小值12.[正解]∵a0，b0，1a＋9b＝1，∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b)＝1＋9＋ba＋9ab≥10＋2ba·9ab＝10＋2×3＝16.当且仅当1a＝9ab，即b2＝9a2时等号成立．由b2＝9a21a＋9b＝1，解得a＝4，b＝12.故当a＝4，b＝12时，a＋b取最小值16.一、选择题1．已知x＞1，y＞1且lgx＋lgy＝4，那么lgx·lgy的最大值是()A．2B.12C.14D．4[答案]D[解析]∵x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0，∴lgx·lgy≤(lgx＋lgy2)2＝(42)2＝4，等号在lgx＝lgy＝2即，x＝y＝100时成立．2．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．63C．46D．183[答案]D[解析]∵3x＞0,3y0.x＋y＝5，∴3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183，等号在3x＝3y，即x＝y＝52时成立