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1案例分析：现实数学观与生活数学观生活数学观，书上的概念如是说：“作为生活的数学，往往是一种经验符号的数学，更多运用的是语言和直觉。作为生活的数学，就是指存在于生活实践中的那些非形式的数学，是人们在社会生活的实践活动中获得交流和理解的数学。”可是，我更多地将它理解为孩子们原本已获取的与数学相关的生活经验，这正是将儿童日常的生活或经验与书本上的数学结合起来的最好的桥梁，也正是张兴华老师等数学特级教师理论中所提倡的“关注学生对相关知识的掌握程度，对已有的经验进行迁移。”这里的“迁移”的“已有的经验”，就是将孩子们已经获得的生活数学。“迁移”，就是对生活数学进行理论化和系统化，使之成为书本上数学知识。比如，在这个案例中，孩子们虽然没有学过平均数，但是依照他们原有的生活经验，他们同样可以将积木用“发牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分发给每一个人，然后再这样轮发）；同样可以将长短不一的线先接起来然后平均分成一样长的几份……这些，都是孩子们生活中积累起来的经验，是生活数学。儿童更多的是利用生活中直观材料的操作来解决问题，只有当任务较大，要分的物品或者对象数额比较大时，才开始尝试获得另一种方法，最终形成了用“除法”的概念和算法。现实数学观，书上的概念如是说：“现实数学是依靠‘局部组织’来支撑的，它往往是依赖于人的经验的，是存在于我们的现实之中的。对于大多数的人来说，是他们加强与外部世界进行沟通和交互，从而获得高质量生存并推进社会进步的一些必要的知识，因为每一个人的经历不同，他们对现实数学的理解也会有差异。”比如，一年级学生计算26+9，有的学生说，“把26看成20和6，先用6+9等于15，再用15+20=35，有的学生说，“把9看成4和5，先用26+4等于30，再用30+5等于35。有的学生说，“把26看成25和1，先用1+9等于10，再用10+25等于35……同样的题目，每个人的理解都会有所不同。当然，不可避免，有时还会出现自己的理解有偏差甚至错误，但这种从自己经验出发的数学，就是现实数学。2在小学数学学习的组织过程中，如果想要体现出现实数学观与生活数学观这样的学科性质特征，我们就一定要正视学生作为主体的重要性和必要性，一切从学生的实际出发，让我们的数学课与学生的生活实际接轨，让我们的数学课考虑儿童需要直观操作的心理特征，让我们的数学课考虑到每个学生经验的不同进行有针对性的现实引导。具体来说，可以这样操作：首先，创设源于生活的情境，回归儿童生活。我们既然已经关注到，儿童诗从自己的生活实践开始认识数学的，我们就应当让儿童的数学学习真正地回归到儿童的生活中去。创设情境时首先考虑，儿童经历了什么？对什么感兴趣？在生活中发现了什么？将学习纳入他们的生活背景之中，再让他们自己去寻找、发现、探究、认识和掌握数学。比如，在《解决问题的策略——替换》一课中，可以先播放《曹冲称象》的故事，让学生说说曹冲是将大象替换成了什么解决了难题？这样替换有什么好处？这样，从学生喜闻乐见的故事中迅速唤起了学生经验中关于替换的已有认知。其次，关注个体认识差异，正确引导现实数学。小学数学课程的一个重要特点就是沟通抽象的数学与现实实践的联系，强化数学的产生与运用真正回归儿童的生活现实。再次，提供可供操作的素材，经历完整思考过程。儿童在小学数学学习中，主要是通过直观方式获得数学的，因此，不应简单地将这个直观过程理解为就是教师的呈现和演示过程，在大多数的情况下，应将这个过程理解为就是学生自己的尝试操作的探究过程。这两点我想用一个例子来说明——在教学《搭配规律》时，“商店里有两种帽子和三个不同的木偶娃娃，小明想买一个木偶娃娃配一顶帽子，有多少种不同的搭配方法？”学生依据实际经验利用实物进行搭配，从而发现有序搭配是不重复也不遗漏的关键，可以用第一顶帽子配三种木偶娃娃，有三种搭配方法；再用第二顶帽子配三种木偶娃娃，又有三种搭配方法。还有的学生先选木偶，用第一种木偶配两种帽子，有两种搭配方法；再用第二种木偶，第三种木偶……这样的过程，就是充分考虑了小学生的特点，让学生充分地操作。然而，教师还可以引导学生用符号、数字、字母代替木偶和帽子，进行简化的搭配。甚至最终学生总结出，不论是先选帽子，还是先选木偶，都可以用一个3乘法算式来计算出所有的搭配方法：2×3=6或3×2=6。让学生由实物操作，甚至是从个人经验出发不同的操作，进而寻求抽象的符号的搭配，最终归纳出乘法计算方法，这便是在学生经历了思维过程的基础上，对现实数学的“图式化”，将现实数学引导成为理论数学，沟通了抽象数学与现实实践之间的关系，学生在这样的过程中学习数学，才会更加易于接受、易于理解呢！生活数观学是指存在于生活实践活动中的那些非形式的数学，是人们在社会生活的实践活动中获得经验交流和理解的数学。研究表明儿童的数学活动不是从观察符号开始的，用逻辑推理进行的，而是从观察现象开始，用特征归纳来进行的。现实数学观实际上是由不同个体在不同的环境中的不同生活经历所形成的，用一支持自己在社会生活中的行为决策和行为方式的。因为每个人的经历不同他们对现实数学的理解也会有差异，所以小学数学学科的任务，通过教师有效的教学组织，引导儿童将自己的经验不断地“数学化”从而构建一些基础的、必要的和现实的数学。从大量的教学临床观察中可以发现，在引导儿童学习“平均数”这个知识点时，长期的教学活动已经使我们逐渐地形成一种固有模式或者说经验，这个经验就是如果知道了“将多的补到少”的过程，就会理解平均数的意义。而这种经验又帮助我们逐渐地形成了一种比较固定的组织程式，即先选取某些多少不同的物品——引导学生进行去夺多补少的活动——将这个活动过渡到运用计算的方式（等分除法）——总结出平均数本质特点——用一条线段表示平均数在平面上的位置来帮助学生进一步理解，平均数这个值一定是在最大的位置与最小的位置之间。在平均数这一概念教学中，概念是思维的基本形式之一，是事物的本质属性在人脑中的反映。概念是一切科学知识和科学思维的基础，也是人类思维的基本要素。概念是对两中以上对象的共同特征的概括；概念主要以词的形式来标志；概念是抽象与概括的结果同时也是对经验的加工。概念有内涵和外延，它们具有反向对应的关系，当内涵扩大了，外延会缩小；反之外延扩大了，内涵会缩小。比如：“等腰三角形”，增加了“有一个角是直角”这样的本质属性，就使外延缩小到所有的“直角等腰三角形”。若减少“两腰相等”这样的本质属性，就使外延扩大到所有的“三角形”。4在概念教学中，数学概念的呈现方式有不定义方式（直接应用、语言描述、图形描述、枚举）和定义方式（集合定义、发生定义、外延定义、关系定义、公理化定义）。在整个小学数学学习阶段中，儿童的抽象思维能力是随着年龄的增长逐步得到发展的。因此，一般来说，在数学教学中，小学低年级的概念大多才用描述性的，中高年级逐步采用定义性概念，但有些定义也仅是初步的，还有待发展。对儿童来说形成概念是一种特殊的认识过程，要进行多种复杂的心理活动，其形成基本途径是概念形成和概念同化。概念形成由初步感知具体对象—尝试建立表象—抽象本质属性—符号表征—概念应用等过程；概念同化由唤起认知结构中的相关概念—进一步抽象形成新概念—分离新概念的关键属性，也就是把原有知识和新知识的相互结合。同时儿童学习概念的基本过程是感知阶段、表象阶段、概念阶段。首先，儿童面对大量直观材料，经过感知，再经过分析、综合获得表象，最后抽象、概括形成概念。所以在“平均数”教学中，教师要尽量符合儿童的发展过程，为儿童的概念形成提供必要的帮助。当我们将数学的学习尽可能地变为学生主动操作、探究和问题解决的时候，支持学生理解数学的价值是比较大的。而且，这种探究性的操作是以儿童自己的反思为基础的。它表现在活动过程往往就是一个儿童自主的假设——验证——反思——修正的过程。当我们引导学生在现实的情境中去发现和探究知识，并引导他们不断地将知识运用到现实情境中的时候，支持学生发展数学素养的作用是比较大的。因为这种探究性的操作是儿童自己的活动。它表现在儿童是以自己的认知与经验来构建活动过程的，是他们面对问题情境，自己作出假设，并自己设计活动来检验这些假设，然后通过自己的反思来修正自己的活动，最终获得结论。儿童的生活经验是指小学生在生活中通过亲身经历、体验而获得的对事物的认识和反映，具有自然性、生成性、发展性等特点。自然性是指学生生活在瞬息万变的社会中，各种各样的生活现象都会毫无阻拦地进入他们的认知领域，从而形成他们“自己的经验”。当然这种经验很大程度上是原始的、粗浅的、局部的、零散的，甚至是不准确的、不科学的，但却是十分难得和可贵的。生成性是指学生在生活和学习的过程中，存在着对自己已有的经验进行调用、调整、提升或者5重新确立的过程，也存在着对活动中新的认识不断接受、理解和内化的过程。这些过程实质上就是新的经验建立和生成的过程。发展性是指经验的建立和运用是一个动态的、不断积累、丰富发展的过程，这也是人的内在素质和能力提高的过程。任何学习都是在先前经验基础上的主动建构，这种建构的结果又会导致经验系统的变化，在这种螺旋上升的发展过程中，学生的经验得以进一步丰富和发展，学习的质量进一步提高。小学数学学习应是儿童自己的实践活动，要让数学学习与儿童自己的生活充分融合起来，将学习纳入他们的生活背景之中，再让他们自己寻找、发现、探究、认识和掌握数学。儿童的数学学习的组织，应源于他们的数学先生，即数学学习活动存在于儿童与外部世界的沟通与交流的过程中。数学学习应当成为让学生亲身体验数学问题解决的一种活动，让学生通过自己去仔细地观察，粗略地发现和简单地证明。在本例中，教师设计了实际的生活化情境，让学生从已有的经验出发，观察、辨析并实验、操作，使数学概念的形成过程变为在问题情境的尝试操作下的思考和分析过程，这种融生活化策略和操作性策略为一体的教学设计，充分考虑了儿童数学学习的特点，体现了现实数学观和生活数学观。但是，数学概念的学习和表示数学概念的语言学习上不同的。“平均数”作为表示数学概念的语言，指的是一种词汇的认识；“平均数”作为一个数学概念，是对一组数的集中和离散程度的本质认识。掌握了单个词汇并不一定就是理解了概念。本例中，在采用“常规方法”来组织学习“平均数”知识的班级中，虽然在概念的形成过程中，设计了生活化情境，可在跟进活动中学生仍然不能将问题与习得知识建立联系甚至不能理解真实情境问题本身的意义，就是因为他们没有真正理解作为数学概念的“平均数”的本质意义。小学生数学学习的实质是，用自己与世界相互作用的独特经验去建构有关数学学科知识和技能的过程。从这个意义上说，小学儿童的生活经验理所当然地成为他们数学学习的一个重要基础，进而成为我们构建小学数学教学模式和开发小学数学活动课程的庞大资源库。小学儿童的数学学习与生活经验是紧密相连的，他们的学习过程就是一个经验的激活、利用、调整、提升的过程，是“自己对生活现象的解读”，是“建立在经验基础上的一个主动建构的过程”。小学儿童的数6学学习活动与其说是“学习数学”，倒还不如说是生活经验的“数学化”。学生从现实出发，经过反思，达到“数学化”。在这一过程中，“数学现实”是十分重要的。对于小学生来说，“数学现实”也许就是他们的“生活经验”。一方面丰富的生活经验是小学生数学学习的前提、基础和重要资源，是保证数学学习质量的重要条件;另一方面，有效的数学学习也能促进经验的应用、提炼和积累。数学学习的过程其实就是一种经验积累的过程，就是一种新的“经历”和“体验”，这种“在生活中学习数学”的方法是数学思想的具体体现。因此孩子应更多地通过真实的问题情景，产生运用数学来解决问题的需要，并且亲自实践，在探索中发现数学和学习数学。