培优专题(一)-矩形的性质与判定的综合

数学人教版八年级下册课件目录首页末页一、矩形的性质1．[2014·哈尔滨]如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为_________．培优专题(一)矩形的性质与判定的综合图15或6数学人教版八年级下册课件目录首页末页2．如图2，在矩形ABCD中，M是CD的中点．求证：∠MAB＝∠MBA.证明：∵在矩形ABCD中，M是CD的中点，∴DM＝CM，AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∴△ADM≌△BCM，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.图2数学人教版八年级下册课件目录首页末页3．如图3，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，连接AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)求证：四边形AECF是平行四边形．图3数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝DA，AB＝CD.又∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴BE＝12AB，DF＝12CD，∴BE＝DF，∴△BEC≌△DFA(SAS)；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，AB＝CD.又∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴AE＝12AB，CF＝12CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页4．如图4，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)△AOD是等腰三角形．图4数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC.∵BE＝CF，BF＝BC－FC，CE＝BC－BE，∴BF＝CE.在△ABF和△DCE中，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)；(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF＝∠CDE.∵∠DAF＝90°－∠BAF，∠EDA＝90°－∠CDE，∴∠DAF＝∠EDA，∴OA＝OD，∴△AOD是等腰三角形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页5．[2014·沈阳]如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.图5数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝12BD，OC＝12AC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.又∵DE＝CF，OD＝OC，∴△ODE≌△OCF，∴OE＝OF.数学人教版八年级下册课件目录首页末页6．如图6，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．图6数学人教版八年级下册课件目录首页末页(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，AE＝CF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF；数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)解：连接OB，∵BE＝BF，OE＝OF，∴BO⊥EF.由(1)中△AOE≌△COF得OA＝OC，即点O是矩形对角线的交点．根据矩形的性质，得OA＝OB＝OC，∴∠BAC＝∠ABO，又∵∠BEF＝2∠BAC，且在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°，∴2∠BAC＋∠BAC＝90°，解得∠BAC＝30°.数学人教版八年级下册课件目录首页末页∵BC＝23，∴AC＝2BC＝43，∴AB＝AC2－BC2＝（43）2－（23）2＝6.数学人教版八年级下册课件目录首页末页二、矩形的判定7．已知，如图7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，图7数学人教版八年级下册课件目录首页末页∵EO＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页8．如图8，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系？为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．图8数学人教版八年级下册课件目录首页末页解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝CD.又∵AF＝BD，∴BD＝CD.(2)△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.又∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形．数学人教版八年级下册课件目录首页末页9．如图9，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△FCE；(2)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．图9数学人教版八年级下册课件目录首页末页证明：(1)∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.在△ABE与△FCE中，∠BAE＝∠CFE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，∴△ABE≌△FCE(AAS)．数学人教版八年级下册课件目录首页末页(2)∵∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BAE，∴AE＝BE.∵△ABE≌△FCE，∴AE＝EF，BE＝CE，∴AE＝EF＝BE＝CE且AF＝BC，∴四边形ABFC为矩形．