【数学】江苏省七市2020届高三第二次调研考试数学试题及答案

参考答案与评分建议第1页（共10页）数学二模参考答案及评分建议一、填空题：每小题5分，共计70分．1．92．53．104．525．236．π67．158．139．210．1311．812．ln613．42714．1，注：第12题凡是写成“In6”，一律算错，0分二、解答题：15．（本小题满分14分）解：（1）因为向量cossin，a，ππcossin44，b，所以2baaaba„„2分22ππcoscossinsincossin44„„4分πcos14212．„„6分（2）因为11，c，所以bcππcos1sin144，．因为bc∥a，所以ππcos1sinsin1cos044．„„9分于是ππsincossincoscossin44，从而ππ2sinsin44，即π1sin42．„„12分因为π02，所以πππ444．于是ππ46，即5π12．„„14分注：本题出现π02，就不扣分；没出现π02或πππ444，扣2分16．（本小题满分14分）证明：（1）取AB的中点D，连结PDCD，．在△1ABB中，因为PD，分别为1ABAB，中点，所以1PDBB∥，且112PDBB．在直三棱柱ABCA1B1C1中，11CCBB∥，11CCBB．因为Q为棱1CC的中点，所以1CQBB∥，且112CQBB．„„3分于是PDCQ∥，PDCQ．所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQCD∥．„„5分又因为CDABC平面，PQABC平面，所以PQABC∥平面．„„7分参考答案与评分建议第2页（共10页）（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，1BBABC⊥平面．又CDABC平面，所以1BBCD⊥．因为CACB，D为AB中点，所以CDAB⊥．„„10分由（1）知CDPQ∥，所以1BBPQ⊥，ABPQ⊥．„„12分又因为1ABBBB，11ABABBA平面，111BBABBA平面，所以11PQABBA⊥平面．„„14分注：本题用11CDABBA⊥平面，CDPQ∥的，扣4分17．（本小题满分14分）解：（1）记椭圆E的焦距为2c（0c）．因为右顶点0Aa，在圆C上，右准线2axc与圆C：2231xy相切．所以22230131aac，，解得21ac，．于是2223bac，所以椭圆方程为：22143yx．„„4分（2）法1：设NNMMNxyMxy，，，，显然直线l的斜率存在，（不写不扣分）设直线l的方程为：2ykx．由方程组222143ykxyx，消去y得，2222431616120kxkxk．所以221612243Nkxk，解得228643Nkxk．„„6分由方程组22231ykxxy，，消去y得，2222146480kxkxk，所以224+821Mkxk，解得222+41Mkxk．„„8分因为127ANAM，所以12227NMxx．„„10分即22121227431kk，解得1k，„„12分所以直线l的方程为20xy或20xy．„„14分法2：设NNMMNxyMxy，，，，当l与x轴重合时，不符题意．（不写不扣分）设直线l的方程为：20xtyt．由方程组222143xtyyx，消去x得，2234120txty，所以参考答案与评分建议第3页（共10页）21234Ntyt．„„6分由方程组22231xtyxy，消去x得，22120txty，所以221Mtyt．„„8分因为127ANAM，所以127NMyy．„„10分即22121227341tttt，解得1t，„„12分所以直线l的方程为20xy或20xy．„„14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为23ADEABCSS△△，△ABC是边长为3的等边三角形，又ADx，所以2121sin=3sin23323ADAE，所以6AEx．„„2分由03603ADxAEx≤，≤，得23x≤≤．„„4分法1：在ADE△中，由余弦定理，得22222362cos63DEADAEADAExx．直道DE长度y1关于x的函数关系式为21236623yxxx，，．„„6分在ADM△和AEM△中，由余弦定理，得2222cosADDMAMDMAMAMD①2222cosAEEMAMEMAMAMD②„„8分因为M为DE的中点，所以12DMEMDE．由①+②，得22222221222ADAEDMEMAMDEAM，所以222226136622xxAMxx，所以2229342xAMx．直道AM长度y2关于x的函数关系式为222932342xyxx，，．„10分法2：因为在ADE△中，DEAEAD，所以2222222663622cos63DEAEAEADADxxxxxx．直道DE长度y1关于x的函数关系式为21236623yxxx，，．„6分DAE（第18题）MCB参考答案与评分建议第4页（共10页）在△ADE中，因为M为DE的中点，所以12AMADAE．„„8分所以2222211362644AMADAEADAExx．直道AM长度y2关于x的函数关系式为222932342xyxx，，．„10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为2212223693+642xDEAMyyxxx2222369326242xxxx≥„„12分3262（当且仅当22223694xxxx，即6x时取“”）．„„14分答：当6AD百米时，两条直道的长度之和取得最小值3262百米．16分19．（本小题满分16分）解：（1）①当k1时，f(x)=x22lnx(kR)，所以2110xxfxxx，令0fx，得x1，„„2分列表如下：所以函数()fx在x1处取得极小值，极小值为1，无极大值（不写不扣分）．„„4分②设x0是函数()fx的一个“F点”00x．因为2210kxfxxx,所以x0是函数()fx的零点．所以0k，由00fx，得20011kxxk，，由00()fxx，得20002lnkxxx，即00+2ln10xx．„„6分设+2ln1xxx，则21+0xx，所以函数+2ln1xxx在0+，上单调增，注意到10，所以方程00+2ln10xx存在唯一实根1，x(01)，1(1)，()fx-0+()fx↘极小值↗参考答案与评分建议第5页（共10页）所以01=1xk，得1k，„„8分根据①知，1k时，1x是函数()fx的极小值点，所以1是函数()fx的“F点”．综上，得实数k的值为1．„„9分（2）因为g(x)ax3bx2cx(a，b，c∈R，a≠0)所以2320gxaxbxca．又因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2，所以x1，x2是关于x的方程232=00axbxca的两个相异实数根．所以21212412023.3bacbxxacxxa△，，又g(x1)ax13bx12cx1x1，g(x2)ax23bx22cx2x2，所以g(x1)g(x2)=x1x2，即(ax13bx12cx1)(ax23bx22cx2)=x1x2，从而(x1x2)[a(x12x1x2+x22)+b(x1x2)+c]=x1x2．因为12xx，所以21212121axxxxbxxc，„„11分即2221333bcbabcaaa．所以2239acba．„„13分因为|g(x1)g(x2)|≥1，所以221212121224433bcgxgxxxxxxxaa224321.9bacaa≥解得20a≤．所以，实数a的取值范围为20，．„„16分（2）（解法2）因为g(x)ax3bx2cx(a，b，c∈R，a≠0)所以2320gxaxbxca．又因为函数g(x)存在不相等的两个“F点”x1和x2，所以x1，x2是关于x的方程组23232=0axbxcaxbxcxx，的两个相异实数根．由32axbxcxx得2010xaxbxc，．„„11分（2．1）当0x是函数g(x)一个“F点”时，0c且23bxa．参考答案与评分建议第6页（共10页）所以2221033bbabaa，即292ab．又12122013bgxgxxxa≥，所以2249ba≥，所以2929aa≤．又a≠0，所以20a≤．„„13分（2．2）当0x不是函数g(x)一个“F点”时，则x1，x2是关于x的方程2232=010axbxcaxbxc，的两个相异实数根．又a0，所以2313bbcc，，得032bc，.所以212ax，得1212xa，．所以12121212gxgxxxa≥，得20a≤．综合（2．1）（2．2），实数a的取值范围为20，．„„16分20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列na的公比为q，因为11a，418a，所以318q，解得12q．所以数列na的通项公式为：112nna．„„3分（2）由（1）得，当2nnN，≥时，111122nnnbS，①所以，11122nnnbS，②②－①得，11122nnnbb，„„5分所以，1111122nnnnbb，即111nnnnbbaa，2nnN，≥．„„7分因为11b，由①得，20b，所以2121011bbaa，所以111nnnnabab，nN．所以数列nnba是以1为首项，1为公差的等差数列．„„8分参考答案与评分建议第7页（共10页）（3）由（2）得bnan=n－2，所以bn=n－22n-1，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(12n+n－12n)=－n2n-1.假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c，使得对任意Nn，都有Sn≤cn≤an，即对任意Nn，都有－n2n-1≤dn+c≤12n-1.③„„10分首先证明满足③的d=0.若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0.(i)若d＞0，则当n＞1－cd，Nn时，cn=dn+c＞1≥12n-1=an，这与cn≤an矛盾.(ii)若0d，则当n＞－1+cd，Nn时，cn=dn+c＜－1.而Sn+1－Sn=－n+12n+n2n-1=n－12n≥0，S1=S2＜S3＜„„,所以Sn≥S1=－1.故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾.所以d=0.„„12分其次证明：当x≥7时，f(