小升初奥数--数论问题

第十九讲数论问题知识点梳理我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是——分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。一、整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.二、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：那么N的因数个数n=（1+p1）×(1+p2)×…(1+pn)三、辗转相除法辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2…以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。不同的质因数）为、NaaaaaaaNnpnpppn21321(321典型例题精讲例1.9600共有多少个因数？解析9600=因数个数=（7+1）×（1+1）×（2+1）=48（个）53227例2.七位数A1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值。解析（1）此七位数可被5整除,则个位必须为0或5;此七位数又可被8整除,则个位数C一定是0.（2）七位数可被8整除,则后三位数4B0可被8整除,故B只能为0、4或8。（3）七位数又能被9整除,则各位数字之和可被9整除.故当B=0时,A=4;当B=4时,A=9;当B=8时,A=5.所以符合条件的七数为4199400、9199440或5199480。原数：A1994BC例3.求2821和1519的最大公因数。解析辗转相除法求最大公因数2821÷1519=1……13021519÷1302=1……2171302÷217=6（2821,1519）=217例4.有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个数最小是多少？解析设这个数为X,X÷4=A……1X÷5=B……4X÷7=C……2每个算式中，每次商减一，余数就增加一个除数，这样可以得到同余是“9”，再求4、5、7的最小公倍数是140，再加9等于149。例5.要使185×84×135×52×（）乘积的末五位数都是0，（）中应填入的自然数最小值是多少？解析要使乘积末五位都是0，就要使这五个因数中有5个2和5个5。所以要把这四个数分解质因数，看缺少几个5和几个2，括号里就填出它们的乘积。解:185=5×37共有4个2和2个5135=5×27缺少3个5和1个284=2×2×215×5×5×2=25052=2×2×13答：括号里填250。例6.有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？解析把三个数加起来的和减去50，把所得的差分解，可以求出这个整数。70+110+160-50=290290=29×10这个整数就是29。例7.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?解析每个瓶子称3次，所以把称量的结果之和除以3得到各称量一次的和。8+9+10+11+12+13=63（千克），63÷3=21（千克），21=19+2，所以油重19千克，四只瓶子共重2千克，每只瓶重2÷5=0.5千克，最重的是13-0.5×2=12千克。例8.商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？解析因为拿走的一定是3的倍数，把所有的数加起来，再减去20才是3的倍数，所以，剩下的是20千克。15+16+18+19+20+31=119千克1+1+9=1111不是3的倍数，11-2=9，9是3的倍数。答：剩下的是20千克。例9.两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。解析两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积，所以，用它们的积除以最大公因数等于最小公倍数，再用最小公倍数除以最大公因数，将得数分解质因数，再乘以最大公因数就是所求的这两个数，注意讨论符合条件的数可能不止一组。5766÷31÷31=66=2×3=1×61×31=31,6×31=186;2×31=62,3×31=93答案有两组：31,186和62,93，例10.某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？解析设2012有学生人，2013年有学生人，（y+x)×(y-x)=101101=101×1y=51x+y=101x=50y-x=151×51=2601（人）1011012222XYYXX2Y2课后作业2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a+b+c+d的最小值是多少？