数论浅析

数论浅析吴德帅（河南大学医学院临床医学专业学号：1510190044）摘要：数论是研究整数性质的科学。公元前300年，古希腊数学家欧几里德证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想。如果找到一个素数通项公式，一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围。关键词：数论；科普；费马大定理；数学是科学的皇后，而数论则是数学的皇后它以其独特的美，吸引了无数的数学天才，也以其通俗的表达形式，带给很多想窥探数学的美的普通人以无尽的魅力，但其深奥的内涵也让其无愧于皇后的宝座。一个看似简单的表达，却具有不可名状的美。一个定理便足以难倒世间智者三百有余个春秋。这便是数学的魅力，诚然受限于我的学历，时间，和精力，对这一科学无力深究，然不妨碍我暨此良机浅尝辄止。费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中，母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论着，连一部完整的着作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。费马独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业馀之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一。费马大定理：当n2时，𝑥𝑛+𝑦𝑛=𝑧𝑛没有整数解。