中考二轮复习之证明两角相等的方法

1OAECDB中考二轮复习之证明两角相等的方法【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一）利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CDAB⊥于点D，BEAC⊥于点E，BE与CD交于点O，且BDCE．求证：AO平分BAC．例2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是四边形内一点，ED⊥AD，BE=DC，∠ECB=45求证：∠EBC＝∠EDCECBDAF2例3如图，已知四边形ABCD中AC=BD，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD＝∠ABE．（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4．已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.例5如图，直线ACBD∥，连结AB，直线ACBD，及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PAPB，，构成PAC，APB，PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P落在第①部分时，求证：APBPACPBD；（2）当动点P落在第②部分时，APBPACPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第③部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC．求证：∠F＝∠A．ABCD①②③ABCDP①②③④ABCD①②③④④3（四）利用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，ABAG，AD⊥BC.求证：（1）∠EAF=∠AFE（2）BE=AE=EF例8已知：如图，AD为锐角△ABC外接圆的直径，AE⊥BC于E，交⊙O于F。求证：∠1=∠2例9已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交⊙O于点F，连结EF、DE．求证：（1）AE2＝AD·AB；（2）∠ACF＝∠AED．（五）利用三角函数求两角之间的关系例10已知抛物线2yaxbxc的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y=x+5经过D、M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由.4BCDEAFABCED【智能巧练】⒈如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与∠A的比是________⒉.已知，如图，在△ABC中，AC2=ADAB。求证：∠ACD=∠ABC。⒊如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，F是AC延长线上的点，且AE=CF求证：⑴∠E=∠F；⑵BE=DF⒋如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，求证：AG⊥AFFGEDBCAMDEFCBA第4题第5题⒌Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.6．已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D.延长DA交△ABC的外接圆于点F.⑴求证：∠FBC=∠FCB；⑵若23,43FAAD，求FB的长.EFCBDA5图(1)BOAFDCGEl·FDABCEO7．⑴如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD．求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．⑵在问题⑴中，直线l向下平行移动，与⊙O相切，其他条件不变．①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．8．如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④DA=DB；其中一定成立的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④9．已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于K、H求证：∠BKE=∠CHE10．已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，点E是BCA上一动点.⑴如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，求证：①∠CED=∠ADE②2DN=NF·NE⑵如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么2DN=NF·NE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.FNMOECDBABNMEOCDFA6ABCMDEEDBCA图1图2【自主检测】1．已知如左图，在ABC中,∠BAC=90°，AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。求证:∠AMB=∠DMC2.如右图在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，G在AC边上并且∠GDC=∠EFB，求证：∠AGD=∠ACB3、如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，求证：∠ABD=∠AEC4、已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.求证：∠ACD=∠F.7OAECDB证明两角相等的方法【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一）利用全等相关知识证明角相等例1已知：如图，CDAB⊥于点D，BEAC⊥于点E，BE与CD交于点O，且BDCE．求证：AO平分BAC．分析：要证AO平分BAC，因为CDAB⊥于点D，BEAC⊥于点E，所以只要证明OD=OE；若能证明若能证△OBD≌△OCE即8可，因为可证∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE，而BD=CE，故问题得到解决．证明：∵CDAB⊥于点D，BEAC⊥于点E∴∠ODB=∠OEC=90°在△OBD和△OCE中∠ODB=∠OEC∠BOD=∠COEBD=CE∴△OBD≌△OCE∴OD=OE∵CDAB⊥于点D，BEAC⊥于点E∴AO平分BAC．说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形内一点，ED⊥AD，BE=DC，∠ECB=45o．求证：∠EBC＝∠EDC分析：要证明∠EBC＝∠EDC，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE与BC交于点于点F，这样就很容易证△BEF≌△DCF，从而问题得到解决。证明：延长DE与BC交于点于点FAD∥BC，ED⊥AD∴DF⊥BC∴∠BFE=∠DFC=90°∵∠ECB=45o∴∠ECB=∠CEB=45o∴CF=EF在Rt△BEF和Rt△DCF中EF=CF，BE=DC∴Rt△BEF≌Rt△DCF∴∠EBC＝∠EDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD＝∠ABE．分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD，而AB为公共边，故问题得到解决．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝BD．∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE．∴AD＝AE，BD＝BE．又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE．∴∠ABD＝∠ABE．说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。ECBDAF9（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4．已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.分析：⑴已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DG⊥CE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE，证明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，可得G是CE的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B转化为∠EDB.证明：⑴连结DE，∵∠ADB=90°，E是AB的中点，∴DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又∵DC=BE，∴DC=DE，又∵DG⊥CE，∴G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等边对等角），∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上