探究与二倍角有关的问题

探究与二倍角有关的问题北京市中关村中学潘晓娜一、教学目标1．能依据已知条件添加适当辅助线，把二倍角转化为等角.2．通过画图、证明，在动手操作和推理论证的过程中体会轴对称在研究二倍角问题中的作用.3.通过探究，激发学生的探究意识，体会与人分享的快乐，培养严谨的数学学习习惯.二、教学重难点【教学重点】依据题目条件,合理添加辅助线.【教学难点】二倍角条件如何利用．三、学情分析1.学生已有知识：全等三角形，三种全等变换（平移、轴对称、旋转）.2.学生基本情况：本次授课班级是普通平行班，学生基本掌握了全等三角形的性质和判定，能利用已有的全等三角形证明两个角相等、两条线段相等，但对于几何问题的推理和辅助线的添加仍存在困难，所以本节课需要在教师的有效引导下完成.3.本节课是全等复习课的第三课时，前面已经复习了全等三角形的性质、判定及简单应用.四、教学过程1.活动1.动手画一画[问题1]：你能尺规作图作出一个等腰△ABC，使CB吗？找学生说出作图的方法：[问题2]:在△ABC中，CB,你能尺规作图作出一个△ABC，使2BC吗？学生思考.让学生说思路:可以先做出一个等腰三角形MBC,尺规作图作出C的角平分线与MB的交点为点A.ACBA'[师]：在刚才的画图中，我们其实是先画出倍角B，再作出B的角平分线，得到了半角C，同学们课下思考一下，我们能否先作出半角C，再作出倍角B呢？你还有别的做法吗？【设计意图】：画出符合条件2BC的△ABC对学生而言本身就是一个难点，增加这个画图环节，为下面的例题做铺垫，使学生在今后的学习中注重图形形成过程，画出符合条件的三角形方法很多，这是最简单的方法，让学生能比较容易理解和掌握.2.活动2.动脑筋证一证[问题3]：已知如图,ABC中，2BC，AD平分BAC求证:ABBDAC.DACB预设学生会比较快出来方法1，让学生来讲讲他的思路，法1：CBA4321EDACB和学生一起梳理思考过程，实际上这种证明方法是转移了倍角的位置，再利用了二倍角的条件，从而解决问题.如果学生说上面的证法是从AD平分BAC这个条件翻折考虑的，那么提出[问题4]：既然可以将AB翻折到AE,那还有别的证明方法吗？如果学生说是从结论入手，在AC上截取ABAE,那么提出问题：[问题5]：除了可以在AC上截取之外，还有别的方法吗？引导学生给出法2：法3：此时教师和学生在共同分析挖掘这种方法的本质，实际上是转移了半角的位置，再利用了二倍角的条件，在上面两种证明方法中，我们分别转移了倍角或半角，但都是找到了一个4，满足BC214,提出下面的问题：[问题6]：满足上述条件的4还可以怎样构造出来？如果学生想不出来，可以换种方式引导，法2中在AB上补出AC,那我们可以在BD上补出AC吗？同学们试试看？引出方法3.学生在找符合条件的4时，也可能会出现以下证法：4321EDACB4321EDACB421FEDACB首先肯定学生的想法，但要证明出来还要过E作BCEG//交AC于点G,留作学生课下思考.法4：421GFEDACB【设计意图】：1.要证明两条线段之和等于另一条线段，可以考虑截长或补短，那如何截、如何补，就要关注题目中所给条件，本题中给了AD平分BAC,所以尝试在AC上截AEAB,或在AB的延长线上补AEAC,构造轴对称全等.2.前三种方法都出现了以下这个基本图形,等腰三角形的顶角外角是底角的2倍，第4种方法则是直接构造了等腰△FBC,出现了等角，为同学们以后处理2倍角问题也提供了思路.GFE3.课堂小结如何依据题目的条件添加辅助线？1.出现角平分线2.出现2倍角3.出现线段和差与另一线段相等教学反思：平面几何中常出现“三角形的一个内角为另一个内角二倍”即“二倍角”的条件，学生遇到这样的问题通常感觉难度较大，无从下手，于是选择在教学过程中根据学生学习中的难点，设计了本节课。设计思路：环节一：学生尺规作图，画出二倍角基于我在几何画板上画例题的图时，画出ABC,使CB2时，觉得有一定的难度，我想对于学生而言更是一个难点，所以设计了一个画图环节，目的在于加深学生对于图形结构的认识；学生在今后的学习中注重图形形成过程，画出符合条件的三角形方法很多，课堂讲解了最简单的方法，让学生能比较容易理解和掌握.环节二：精选例题，深入分析对于例题的选择也是经过深思熟虑的，首先它含有我本节课研究的对象二倍角，其次它有角平分线的条件，又便于学生上手分析，而且结论也是学生比较熟悉的求证两条线段之和等于第三条线段，学生也可以从截长补短的角度来思考，而在解决问题的过程中，利用了等腰三角形顶角的外角是底角的二倍从而解决了问题，让学生在证明过程中体会二倍角的处理是转化为等角来处理的，既可以通过直接作出倍角的角平分线，构造半角，产生等角；也可以利用等腰三角形的顶角外角是底角的2倍，构造基本图形解决问题。环节三：反思回顾，总结体会在例题进行深入分析之后，和学生一起再来分析所产生的四种解法，引导学生们体会了同样的辅助线，如果分析的角度不同，那么辅助线的叙述也不一样，同样的问题关注点不同，入手点不同，解法自然不同，对于“二倍角”条件的处理掌握基本的处理思路。今后的几何教学中也将继续关注图形结构分析和如何引导学生学会分析几何问题，找到解决问题的突破口.