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数列教案本章教学约需17课时，具体分配如下：3.1数列约2课时3.2等差数列约2课时3.3等差数列前n项和约2课时3.4等比数列约2课时3.5等比数列前n项和约2课时研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时小结与复习约4课时一、内容与要求本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分奎屯王新敞新疆在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法奎屯王新敞新疆关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”奎屯王新敞新疆这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列奎屯王新敞新疆关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式奎屯王新敞新疆点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚奎屯王新敞新疆此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展奎屯王新敞新疆递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”奎屯王新敞新疆在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式奎屯王新敞新疆但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担奎屯王新敞新疆考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了奎屯王新敞新疆在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)奎屯王新敞新疆在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便奎屯王新敞新疆在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系奎屯王新敞新疆这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握奎屯王新敞新疆二、本章的特点(一)在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高奎屯王新敞新疆在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子奎屯王新敞新疆它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义奎屯王新敞新疆在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用奎屯王新敞新疆例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：1+2+3+...+100=?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路奎屯王新敞新疆在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分奎屯王新敞新疆如3.3例4：“已知数列的通项公式为na=pn十q，其中p、q是常数，那么这种数列是否一定是等差数列?如果是，其首项与公差是什么?”又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性奎屯王新敞新疆在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路奎屯王新敞新疆如对于上面提到的“3.3例4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定{na}是不是等差数列，只要看nnaa1是不是一个与n无关的常数就行了”奎屯王新敞新疆话虽不多，但突出了“从定义出发”这种最基本的证明方法奎屯王新敞新疆(二)加强了知识的应用除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题奎屯王新敞新疆如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等奎屯王新敞新疆(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强奎屯王新敞新疆(四)注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘奎屯王新敞新疆教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B组第2题”便是一个典型例子奎屯王新敞新疆方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列奎屯王新敞新疆这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解奎屯王新敞新疆关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现奎屯王新敞新疆观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件奎屯王新敞新疆三、教学中应注意的几个问题(一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担奎屯王新敞新疆事实上，学习是一个不断深化的过程奎屯王新敞新疆作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高奎屯王新敞新疆最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次奎屯王新敞新疆为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方奎屯王新敞新疆例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会奎屯王新敞新疆而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要奎屯王新敞新疆本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力奎屯王新敞新疆(三)适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步奎屯王新敞新疆比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面奎屯王新敞新疆1．数列概念与函数概念的联系奎屯王新敞新疆相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数奎屯王新敞新疆从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围奎屯王新敞新疆但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值奎屯王新敞新疆基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质奎屯王新敞新疆数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式奎屯王新敞新疆而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)奎屯王新敞新疆这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式奎屯王新敞新疆2．等差数列与一次函数、二次函数的联系奎屯王新敞新疆从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式奎屯王新敞新疆于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列奎屯王新敞新疆例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列奎屯王新敞新疆此外，首项为1a、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：dnnnaSn2)1(1即当0d时，nS是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题奎屯王新敞新疆如可以根据二次函数的图象了解nS的增减变化、极值等情况奎屯王新敞新疆3．等比数列与指数型函数的联系奎屯王新敞新疆由于首项为1a、公比为q的等比数列的通项公式可以写成qqaSnn1)1(1)1(q它与指数函数y=xa有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列奎屯王新敞新疆(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项奎屯王新敞新疆具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等奎屯王新敞新疆因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别奎屯王新敞新疆顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列奎屯王新敞新疆教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差(等比)数列和解决其他问题的一种基本方法奎屯王新敞新疆要让学生注意，这里的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的奎屯王新敞新疆上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).利用上述性质，常使一些问题变得简便奎屯王新敞新疆对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化奎屯王新敞新疆非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在奎屯王新敞新疆(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力奎屯王新敞新疆事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想奎屯王新敞新疆应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过奎屯王新敞新疆(六)在符号使用上与国家标准一致为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N＝{0，l，2．3，……}，即自然数从O开始奎屯王新敞新疆这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭奎屯王新敞新疆但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.高一数学第三章数列复习小结基本训练题一、选择