等比数列的复习课

1.定义：an/an-1=q（q为常数）（n≥2）3.等比数列的通项变形公式：an=amqn-m2.等比数列的通项公式：an=a1qn-1要点复习要点复习.5的等比中项与叫做那么构成等比数列使得中间插入一个数与如果在两个数baA，a、、A、A，ba、abA，a、、A、b、6那么成等比数列如果7.性质:在等比数列中，为公比，若且naqNqpnm,,,qpnm那么：qpnmaaaan8.等比数列的前项和公式:或111111qnaqqqaSnn)(11111qnaqqqaaSnn或，a1、q、n、an、Sn中知三求二9.性质:在等比数列｛an｝中,Sn是它的前n项和,那么有:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.n+1判断是非n2222132②n点击21211)(nncccc26420c1c③若且,则2221])(1[cccnc2≠1n）（2)()(21211n12168421n)(①2n新课讲授:29663已知}{na是等比数列，请完成下表：题号a1qnanSn(1)(2)(3)21218例12112112188])([S解：8211)(2562557)21(21821)(256125612562558a11nnqaa29663827已知}{na是等比数列，请完成下表：题号a1qnanSn(1)(2)(3)2121832465例2解：qqaaSnn1132132827256125625565832271nna)(313232)()(nna4n已知}{na是等比数列，请完成下表：a1、q、n、an、Sn中例3题号a1qnanSn(1)(2)(3)212183246532962561256255636827知三求二例4求等比数列的第5项到第10项的和.,81,41,21102463【解法2】此等比数列的第5项到第10项构成一个首项是2112112165)(S5a521q216n的等比数列公比为，项数1042121【解法1】1095aaa410SS2112112121121121410)()(1042121102463例5.已知等比数列｛an｝的前m项和为10，前2m项和为50，求它的前3m项的和。解:在等比数列｛an｝中,有:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也成等比数列.所以,由(S2m-Sm)2=Sm×(S3m-S2m)得:S3m=210求数列的前n项的和.,,,,161814121拓展1分组求和反思16116819414211nS)21(2nn解:)21814121(n)321(2222n6)12)(1(nnn211])21(1[21nnnnn21163223)21()813()412()211(2222nn1694124210naaaa求和：解：(1)当，即时，21a原式=122111naa=22211naa1a拓展2(2)当，即时21a1n1a原式=综上所述：22211111naaana原式例6．从盛满升（）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．问第次操作后溶液的浓度是多少?若，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于？a1a2an%10分析：这是一道数学应用题．解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学化．注意到开始浓度为1，操作一次后溶液浓度是.操作二次后溶液浓度是,…，操作n次后溶液浓度是.则不难发现，每次操作后溶液浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．解决数列问题，便可能达到解决实际问题之目的．aa111)11(12aaa)11(1aaann解：设每次操作后溶液浓度为数列，则问题即为求数列的通项．依题意，知原浓度为1，，，…，．构成以首项，公比的等比数列，所以，故第n次操作后酒精浓度是当时，由，得.因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于．na)(nfanaa111)11(12aaa)11(1aaannnaaa111aq1111nnqaannaaa)11()11)(11(1na)11(2a101)21(nna4n%10注：数学应用问题的解答步骤：一、通过阅读，理解题意，建立数学模型；二、通过解决数学问题，解决实际问题；三、回答实际问题．例7．某人年初欲向银行贷款10万元用于买房。已知有以下两种还款方式：（Ⅰ）等额本息还款法：分10次等额归还，年利率为4%，按复利计算，每年年初还款一次；（Ⅱ）等额本金还款法：每年年初还本金1万元，并加付欠款的利息，年利率为5%；请问：他用哪一种还款方式比较合算？(1)解法1:设每年还款m元.105×1.0410=m(1+4%)9+m(1+4%)8+m(1+4%)7+……+m=m(1.049+1.048+1.047+…+1.04+1)=解得m=≈12330(元)即每年需还款12330元.实际房款为1233010=123300元04.11)04.11(10m4802.004.04802.1105解法2:设每年还款m元,n年后欠款余额为an元.则a1=105×(1+4%)–ma2=[105×(1+4%)–m](1+4%)–m=105×1.042–1.04m–ma3=(105×1.042–1.04m–m)(1+4%)–m=105×1.043–1.042m–1.04m–m……a10=105-1.049m-1.048m-1.047-……-1.04m-m=105×1.0410-m(1.049+1.048+1.047+…+1.04+1)=105×1.0410-=105×1.4802-根据题意a10=0解得m=≈12330(元)04.11)04.11(10m04.11)4802.11(m4802.004.04802.1105所以,每年需还款12330元.(2)设每年交付欠款的数额顺次构成数列{an}，故a1=104+105×0.05=15000(元)a2=104+(105-104)×0.05=14500(元)a3=104+(105-104×2)×0.05=14000(元)a4=104+(105-104×3)×0.05=13500(元)……an=104+[105-104×(n-1)]×0.05=15500-500n(1≤n≤10,n∈N)∴{an}是以15000为首项,-500为公差的等差数列.∴10次分期付款总和为(元)127500210)1050015000(210)(10110aaS还款方式等额本息还款法等额本金还款法原欠款总额100000元100000元年利率4%5%计息方式复利欠款利息（单利）每年还款额12330元（等额）不等额（逐渐减少）实际购房款123300元127500元(比较两种还款法的具体情况):应选择(Ⅱ)新人教版必修5练习:课本76~77.A组6~10B组3,7作业:课本P77.B组4~6