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创新展台（新课标人教版）浙江省临海市第五中学李梦虎317000台球桌上的数学（七年级）【题目】一个台球桌的桌面如图所示,一个球面上的点A滚向桌边PQ,碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS,碰着RS上的点C便反弹而滚向点D.如果PQ∥RS,AB、BC、CD都是直线，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCD的平分线CM垂直于RS，那么，球经过两次反弹后所滚的路径CD是否平行于原来的路径AB？解法：因为PQ∥RS，由“两直线平行，内错角相等”，可得∠QBC=∠SCB，所以∠CBN=90°－∠QBC=90°－∠SCB=∠MCB，而BN平分∠ABC，CM平分∠BCD，所以∠ABC=∠BCD，根据“内错角相等，两直线平行”，可以得到CD∥AB.【赏析】本题是义务教育课程标准实验教材(人教版)七年级下册复习题5的第13题,是一道紧密联系学生的生活经验、突出相交线平行线的现实背景的情境性习题.通过创设台球活动情境，把相交线平行线的知识有机地融入到游乐活动之中，使知识与技能的落实以及推理能力的培养与学生身心特点密切结合.本题能让学生感受到数学就在身边，就在平时的玩乐之中，从而体验到数学学习的快乐；同时，又能使学生认识到学好相交线平行线的知识也能提高打台球的技巧，从而体验到数学的价值.【挖掘】本题除了能有效地激发学生数学学习的兴趣以及好奇心和求知欲外，由于要在相对复杂的图形背景中解决问题，所以在培养学生有条理地思考和表达方面有着它特有的功能.我们认为要最大限度地发挥此题的功能,应从以下两个方面入手.1、渗透探寻思路的一般性方法对刚接触简单推理的七年级同学来说,本题难度较大，肯定会有同学不适应，所以学生在自主探索有困难时，教师应作适当的提示.但我们认为提示不应简单地告诉学生如何解答,而是要不惜时机地渗透探寻思路的一般性方法,如介绍由已知出发“执因索果”的综合法以及由结论入手“执果索因”的分析法等,这样使教师的介入不只是告诉学生如何解这个题目,而是在引导学生的思维,从而逐步教会学生如何思考这一类问题.2、加强题后反思提高学生有条理地思考和表达的一个较为有效方法就是引导学生进行题后反思.因此,在解答此题后可以引导学生思考如下一些问题:说理过程中用到了平行线的哪些知识，除了平行线知识外还用到了哪些其它知识；在你的思考过程中哪一步最难突破，哪一步最容易想到；假如你以后遇到类似问题时，你会从哪里找问题切入点等等.这样在培养学生有条理地思考和表达的同时,也促进了学生元认知能力的发展.勾股数的探究（八年级）【题目】我国古代的《周髀算经》就有了有关“勾三、股四、弦五”记载.下面请同学们探究勾股数的有关性质.(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.计算1111(91),(91)(251),2512222与，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；(2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有的这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…,可以发现各组的第一个数都是偶数且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m4）的代数式来表示它的股和弦.(4)聪明的同学,除第（2）小题中已发现的相等关系外，你还有其他新的发现吗?把你的新发现写出来并与同学进行交流.解法:(1)∵5)19(21,4)19(21，13)125(21,12)125(21，∴7,24,25的股的算式为)17(21)149(212，7,24,25的弦的算式为)17(21)149(212；（2）当n为奇数且3n时，勾、股、弦的代数表达式分别为：)1(21),1(21,22nnn；关系式①,弦－股=1；关系式②,勾2+股2=弦2（这只是其中的两种）；证明关系式①：弦－股=)1(21)1(2122nn=1；或者证明关系②：勾2+股2=222)]1(21[nn=41214124nn=22)1(41n=弦2∴猜想得证.（3）当m是偶数且4m时，股和弦的代数表达式分别为1)2(,1)2(22mm；（4）略.【赏析】本题是义务教育课程标准实验教材(人教版)八年级下册习题18.2第4题的改编题,通过改编把课本习题变成充满着观察、归纳、猜想、类比和证明的探究题,通过递进式的问题串,让所有的学生在探究过程中都能获得成功的体验；同时面临不同层次的挑战，较好地体现了“不同的人在数学上得到不同发展”的新课程理念.另一方面,第(4)小题为学生提供了足够的探索和交流空间,并通过激励性的语言引导学生相互合作交流,让他们经历多角度认识问题、多种策略思考问题的活动，从而使他们的创新意识和探究能力到得有效的锻炼和发展.【挖掘】本题能让学生经历观察、归纳、猜想、类比、验证和证明等数学探究活动,因此它在培养学生的探究能力和合作交流意识等方面都比课本原题具有更高的使用价值.我们认为要让这样的探究题发挥最大的功能,应从以下两个方面入手.1、渗透数学探究的一般性方法加强数学探究方法的渗透,不仅有利于学生学习能力的提高，更有利于学生探究思维的培养和创新能力的提升.因此,教师应通过提示、题后反思等环节结合本题特点,向学生渗透数学探究的一般性方法,如向学生介绍“归纳猜想法”、“类比猜想法”、“发散探究法”等一些常用的数学探究方法.这样使学生在获得活动经验的同时,进一步认识和理解数学探究的一般性方法.2、加强合作交流意识的培养在解答第(4)小题时,由于学生的学习经验和思考角度的不同,探究的结果不尽相同,教师应借此机会培养学生的合作交流意识,引导、鼓励学生相互合作交流，让他们在相互合作交流的过程中获益，在问题解决过程中，感悟到与他人合作交流的重要.