圆周运动习题课(一)

圆周运动习题课（一）【例1】汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶，关于它受到的水平方向的作用力方向的示意图，可能正确的是(下图中F为地面对其的静摩擦力，f为它行驶时所受阻力)()C【解析】汽车沿弯曲水平路面匀速行驶时，所受到的合外力，即地面对其的静摩擦力F指向曲线凹的一侧，行驶时的受阻力f与速度方向相反，故C项正确．【答案】C【例2】如图所示，直径为d的纸圆筒，以角速度ω绕轴O做匀速转动，然后把枪口对准圆筒使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半周时在筒上留下a、b两个弹孔．已知aO、bO间的夹角为θ，求子弹的速度是多大？【错解】子弹在筒中运动的位移为直径d，则v＝dt，而ω＝θt，故v＝ωdθ.【正解】设子弹穿过圆筒时间为t，t内圆筒转过的角度θ′＝π－θ；子弹穿过圆筒的时间t＝θ′ω＝π－θω；子弹的速度v＝dt＝dωπ－θ【例3】(2011·安徽)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图(a)所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示．则在其轨迹最高点P处得曲率半径是()CA.v20gB.v20sin2αgC.v20cos2αgD.v20cos2αgsinα【解析】在最高点只有重力提供“圆周运动”的向心力，有g＝v2r＝v0cosα2ρ，故ρ＝v20cos2αg.【答案】C【例4】如右图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A的受力情况是()A．受重力、支持力B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C．受重力、支持力、向心力、摩擦力D．以上均不正确B【解析】物体A在平台上，受到重力G竖直向下，受支持力N竖直向上．至于物体A是否受摩擦力，方向如何？分析运动状态才知道．由于A随台做匀速圆周运动，故其必须有力提供向心力．G与N为竖直方向上的一对平衡力，不能提供向心力，只有A受摩擦力f且指向圆心充当向心力，才能使物体有向心力，而做匀速圆周运动，故选项B正确．【答案】B【例5】A、B两轮经过皮带传动(不打滑)，C轮与A轮同轴，它们的半径之比分别是RA∶RB∶RC＝1∶2∶3，如下图所示，求：(1)三轮边缘的线速度之比vA∶vB∶vC；(2)三轮的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(3)轮边缘的点的向心加速度之比aA∶aB∶aC.【答案】(1)1∶1∶3；(2)2∶1∶2；(3)2∶1∶6【解析】(1)由于A、B两轮是通过皮带传动，因此两轮边缘的线速度大小相等，即vA∶vB＝1∶1.而A、C两轮固定在同一轴上．所以两轮角速度相同，而线速度却跟两轮半径成正比．即vA∶vC＝RA∶RC＝1∶3，所以三轮边缘的线速度之比vA∶vB∶vC＝1∶1∶3(2)由于A、C两轮同轴，其角速度相同，即ωA∶ωC＝1∶1.A、B两轮边缘线速度大小相等，其角速度跟半径成反比，即ωA∶ωB＝RB∶RA＝2∶1.所以三轮的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶2(3)因为向心加速度a＝vω，所以其向心加速度之比等于它们的线速度和角速度乘积之比．即aA∶aB∶aC＝2∶1∶6【答案】(1)1∶1∶3；(2)2∶1∶2；(3)2∶1∶6【例6】由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶飞往上海的飞机在飞越太平洋的过程中，飞行速度的大小和距离海面的高度均相同，两种情况相比较，下列说法正确的是()A．飞机上的乘客对座椅的压力两种情况大小相等B．飞机上的乘客对座椅的压力前者稍大于后者C．飞机上的乘客对座椅的压力前者一定稍小于后者D．飞机上的乘客对座椅的压力可能为零C【解析】题中两次飞行所谓速度大小相同，是指相对于地面的速度大小相同，而由于地球在自转，飞机相对于地心的速度在两次飞行中却不相同，选择人为研究对象，利用牛顿第二定律列式求解．设在航线处地球(也包括大气)自转速度大小为v0，飞机速度(即相对地面速度)为v.由于地球是自西向东旋转，故由上海经太平洋上空飞往洛杉矶时飞机相对地心速度为(v0＋v)，设人的质量为m，座椅对人支持力为N1，有mg－N1＝m(v0＋v)2/r.即N1＝mg－m(v0＋v)2/r.由洛杉矶经太平洋飞往上海时，飞机相对地心速度为(v0－v)，有mg－N2＝m(v0－v)2/r.即N2＝mg－m(v0－v)2/r，显然N1N2，故正确答案选C项．【答案】C【例7】(2013·课标全国Ⅱ)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处()A．路面外侧高内侧低B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小AC【解析】汽车拐弯处将路面建成外高内低，汽车拐弯靠重力、支持力、摩擦力的合力提供向心力．速率为vc时，靠重力和支持力的合力提供向心力，摩擦力为零．根据牛顿第二定律进行分析．路面外高内低时，此时重力和支持力的合力恰好提供汽车在水平面上的圆周运动向心力．故A项正确；车速低于vc，汽车有向内侧滑动的趋势，受到向外的摩擦力，这时重力、支持力、摩擦力仍能提供物体做圆周运动的向心力，只有静摩擦力等于滑动摩擦力时，才有可能向内侧滑动，故B项错误；当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只要速度不超出重力、支持力和最大静摩擦力提供向心力所对应的速度，车辆不会侧滑，故C项正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变．故D项错误．【答案】AC【例8】如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6kg的物体，静止在水平圆盘上．另一端通过光滑的小孔吊着质量为m＝0.3kg的物体．M的中点与圆孔的距离为0.2m，并已知M与圆盘的最大静摩擦力为2N．现使此圆盘绕中心轴线转动．问角速度ω在什么范围内可使m处于静止状态？(取g＝10m/s2)【解析】物体M受到重力Mg，水平盘面的支持力N，绳子的拉力T和摩擦力f作用．设物体M和盘面保持相对静止，当ω具有最小值时，M有被拉向圆心的趋势，故盘面对M的静摩擦力的方向背离圆心向外，且等于最大静摩擦力fm＝2N，根据牛顿第二定律，得对于m有：T＝mg对于M有：T－fm＝Mω21r所以ω1＝T－fm/Mr＝mg－fm/Mr＝533rad/s＝2.9rad/s当ω具有最大值时．M有离开圆心O的运动趋势，水平盘面对M的静摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力fm＝2N，根据牛顿第二定律，得对于M有：T＋fm＝Mω22rω2＝5153rad/s＝6.5rad/s故角速度的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s，物体M都能处在静止状态．【答案】2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s(533rad/s≤ω≤5153rad/s)例9、如图所示，质量为m的小球与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用力拉着绳子另一端使球在水平板内绕O做半径为R1、角速度为ω1的匀速圆周运动，求：(1)此时小球的速率为多大？(2)若将绳子迅速放松，后又拉直使小球做半径为R2的圆周运动，则从放松到拉直这段时间为多长？(3)小球做半径为R2的圆周运动的角速度ω2为多大？【解析】(1)小球做半径为R1的圆周运动时，其速度v1＝ω1R1(2)绳子放松后，小球保持以v1速度沿切线做匀速直线运动．从右图中可看出从放松到拉直绳子这段位移为x，则x＝R22－R21.因是匀速直线运动，则所需时间为t＝xv1＝R22－R21ω1R1(3)绳子拉直绷紧时，v1分解成切向速率v2和法向速率v3，小球将以v2做半径为R2的匀速圆周运动，而法向速度v3损失减小到零(绳子不断)．则由几何知识，有v2＝v1cosθ而cosθ＝R1R2，有v2＝R1R2v1即ω2R2＝R1R2ω1R1得ω2＝R21R22ω1【答案】(1)ω1R1(2)R22－R21ω1R1(3)R21R22ω1【例10】(经典题)如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另两端分别固定于轴上的A、B两处．上面绳长l＝2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？当角速度为3rad/s时，上、下两绳的拉力分别为多大？【解析】两绳始终张紧的制约条件有以下两种情况：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值．其一是BC恰好拉直，但不受力；其二是AC仍然拉直，但不受拉力．选C小球为研究对象，对C受力分析如图所示．当BC恰好拉直，但T2＝0时，设此时的角速度为ω1，则有T1cos30°＝mg①T1sin30°＝mω21lsin30°②代入数据，解得ω1＝2.40rad/s当AC拉直，但T1已为零．设此时的角速度为ω2，则有T2cos45°＝mg③T2sin45°＝mω22lsin30°④代入数据，得ω2＝3.16rad/s所以要两绳始终拉紧，ω必须满足2．40rad/s≤ω≤3.16rad/s当ω＝3rad/s时，T1、T2同时存在，所以T1sin30°＋T2sin45°＝mω2lsin30°⑤T1cos30°＋T2cos45°＝mg⑥将数值代入⑤、⑥，得T1＝0.27N，T2＝1.09N【答案】2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s,0.27N,1.09N【例11】(2013·重庆)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动．一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.(1)若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0；(2)ω＝(1±k)ω0，且0＜k＜1，求小物块受到的摩擦力大小和方向【解析】(1)物块在弹力和重力的作用下做圆周运动，弹力的竖直分力与重力平衡，弹力的水平分力提供向心力，所以有FNcosθ＝mgFNsinθ＝mω20Rsinθ得ω0＝2gR(2)当ω＝(1＋k)ω0时，滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁切线向下，受力分析如图甲所示竖直方向：FNcosθ－fsinθ－mg＝0水平方向：FNsinθ＋fcosθ＝mω2Rsinθ联立得f＝3k2＋k2mg当ω＝(1－k)ω0时，滑块有沿斜面向下滑的趋势，摩擦力方向沿罐壁切线向上，受力分析如图乙所示，竖直方向：FNcosθ＋fsinθ－mg＝0水平方向：FNsinθ－fcosθ＝mω2Rsinθ联立得f＝3k2－k2mg【答案】(1)ω0＝2gR(2)当ω＝(1＋k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为f＝3k2＋k2mg当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为f＝3k2－k2mg例12、如图所示，半径为R的水平圆板绕竖直轴匀速转动，当半径OB转到某方向时，在圆板中心正上方h高处平行于OB方向水平抛出一小球，重力加速度为g，小球抛出时的速度及圆板转动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次且相碰点为B？解：小球做平抛运动，根据平抛运动的分位移公式，有：h=gt/2；R=v0t联立解得：t=，v0=R；时间t内圆盘转动n圈，故角速度为：ω==2（其中：n=1，2，3，…）2例13、如图所示，固定的竖直圆筒内壁光滑，底面圆半径为R，圆筒顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一个小球从入口A处沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使球从出口B处飞出，小球进入时的速度v0应满足什么条件？解析小球在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2由于圆筒内壁光滑，故小球在水平方向做匀速圆周运动，若小球恰能从B处飞出，则水平方向做圆周运动的路程为s＝n·2πR(n＝1，2，3，…)所以小球进入时的速度为v