2007年高考理科数学(宁夏)卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第II卷第22题为选考题，其他题为必考题。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题:pxR，sinx≤1，则A．:pxR，sinx≥1B．:pxR，sinx≥1C．:pxR，sinx1D．:pxR，sinx12．已知平面向量a=（1，1），b（1，－1），则向量1322abA．（－2，－1）B．（－2，1）C．（－1，0）D．（－1，2）3．函数πsin23yx在区间ππ2，的简图是4．已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=A．23B．13C．13D．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=A．2450B．2500C．2550D．26526．已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）在抛物线上，且2x2=x1+x3，则有A．123FPFPFPB．222123FPFPFPC．2132FPFPFPD．2213FPFPFP·7．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则2()abcd的最小值是A．0B．1C．2D．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是A．34000cm3B．38000cm3C．2000cm3D．4000cm39．若cos22π2sin4，则cossin的值为A．72B．12C．12D．7210．曲线12exy在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．29e2B．4e2C．2e2D．e211．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有A．s3s1s2B．s2s1s3C．s1s2s3D．s2s3s112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h，2h，h，则12::hhhA．3:1:1B．3:2:2C．3:2:2D．3:2:3第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为。14．设函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a=。15．i是虚数单位，51034ii。（用a+bi的形式表示，abR，）16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D。现测得BCDBDC，，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数466418．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC°，O为BC中点。（Ⅰ）证明：SO平面ABC；（Ⅱ）求二面角A—SC—B的余弦值。19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点P和Q。（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。20．（本小题满分12分）如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。（Ⅰ）求X的均值EX；（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间（－0.03，，0.03）内的概率。附表：10000100000()0.250.75kttttPkCK2424242525742575P（k）0.04030.04230.95700.959021．（本小题满分12分）设函数2()ln()fxxax（Ⅰ）若当x=－1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2。22．请考生在A、B、C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。A（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点。（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；（Ⅱ）求OAMAPM的大小。B（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos4sin，。（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。C（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲设函数()214fxxx。（Ⅰ）解不等式f（x）2；（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值。参考答案一、选择题1．C2．D3．A4．D5．C6．C7．D8．B9．C10．D11．B12．B二、填空题13．314．115．12i16．240三、解答题17．解：在BCD△中，πCBD由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD在ABCRt△中，tansintansin()sABBCACB18．证明：（Ⅰ）由题设ABACSBSC===SA，连结OA，ABC△为等腰直角三角形，所以22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC△为等腰三角形，故SOBC，且22SOSA，从而222OASOSA所以SOA△为直角三角形，SOAO又AOBOO．所以SO平面ABC（Ⅱ）解法一：取SC中点M，连结AMOM，，由（Ⅰ）知SOOCSAAC，，得OMSCAMSC，OMA∴为二面角ASCB的平面角．由AOBCAOSOSOBCO，，得AO平面SBC所以AOOM，又32AMSA，故26sin33AOAMOAM所以二面角ASCB的余弦值为33解法二：以O为坐标原点，射线OBOA，分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz．设(100)B，，，则(100)(010)(001)CAS，，，，，，，，SC的中点11022M，，，111101(101)2222MOMASC，，，，，，，，00MOSCMASC，∴··故,MOSCMASCMOMA，，等于二面角ASCB的平面角．3cos3MOMAMOMAMOMA，··，所以二面角ASCB的余弦值为3319．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为2ykx，OSBACMxzy代入椭圆方程得22(2)12xkx整理得22122102kxkx①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于2221844202kkk，解得22k或22k．即k的取值范围为2222，，∞∞（Ⅱ）设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，，由方程①，1224212kxxk②又1212()22yykxx③而(20)(01)(21)ABAB，，，，，所以OPOQ与AB共线等价于12122()xxyy，将②③代入上式，解得22k由（Ⅰ）知22k或22k，故没有符合题意的常数k20．解：每个点落入M中的概率均为14p依题意知1~100004XB，（Ⅰ）11000025004EX（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000XP，0.03410.03(24252575)10000XPPX2574100001000024260.250.75ttttC25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75tttttttCC=0.9570-0.0423=0.914721．解：（Ⅰ）1()2fxxxa，依题意有(1)0f，故32a从而2231(21)(1)()3322xxxxfxxx()fx的定义域为32，∞，当312x时，()0fx；当112x时，()0fx；当12x时，()0fx从而，()fx分别在区间31122，，，∞单调增加，在区间112，单调减少（Ⅱ）()fx的定义域为()a，∞，2221()xaxfxxa方程22210xax的判别式248a（ⅰ）若0，即22a，在()fx的定义域内()0fx，故()fx的极值（ⅱ）若0，则2a或2a若2a，(2)x，∞，2(21)()2xfxx当22x时，()0fx，当22222x，，∞时，()0fx，所以()fx无极值若2a，(2)x，∞，2(21)()02xfxx，()fx也无极值（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax当2a时，12xaxa，，从而()fx有()fx的定义域内没有零点，故()fx无极值当2a时，1xa，2xa，()fx在()fx的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()fx在12xxxx，取得极值．综上，()fx存在极值时，a的取值范围为(2)，∞()fx的极值之和为22121122()()ln()ln()fxfxxaxxax21ln11ln2ln22ea22．A解：（Ⅰ）证明：连结OPOM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OPAP因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OMBC于是180OPAOMA°，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以APOM，，，四点共圆（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得APOM，，，四点共圆，所以OAMOPM．由（Ⅰ）得OPAP由圆心O在PAC的内部，可知90OPMAPM°所以90OAMAPM°B解：解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位。（Ⅰ）cosx，siny，由4cos得24cos所以224xyx即2240xyx为⊙1O的直角坐标方程。同理2240xyy为⊙2O的直角坐标方程。（Ⅱ）由22224040xyxxyy，APOMCB解得1100xy，，2222xy即⊙1O，⊙2O交于点(00)，和(22)