§5-1角的概念的推广和弧度制

5.1.1角的概念的推广与弧度制1、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．BAO⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角。．用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.3．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，300、60是第Ⅳ象限角，585、1300是第Ⅲ象限角，135、2000是第Ⅱ象限角等3、(2)轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k(k∈Z)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=－1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=－5)⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和⑷注意以下四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.象限角的表示Zkkk,36090360|第一象限Zkkk,222|第二象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三象限Zkkk,360270360180|Zkkk,2232|第四象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223|角度制弧度制终边在x轴非负半轴终边在x轴非正半轴终边在x轴终边在y轴非负半轴终边在y轴非正半轴终边在y轴终边在坐标轴Zkk,2|Zkk,2|Zkk,|Zkk,22|Zkk,232|Zkk,2|Zkk,2|Zkk,360|Zkk,180|Zkk,180360|Zkk,90360|Zkk,270360|Zkk,90180|Zkk,90|0π/6π/4π/3π/2π3π/2sinαcosαtanα00000011不存在不存在-1-12121123232222333特殊角的三角函数值例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},S中在－360º～720º间的角是－1×360º+60º=－280º；0×360º+60º=60º；1×360º+60º=420º．(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；0×360º+363º14’=363º14’．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90oBβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90ºβα135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______________;3解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.3当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.探究1：弧度的概念思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？nrl3602思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？OAB111rad思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？－2radB2rOAr思考5：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？见书本第６页探究思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？lr探究（二）：度与弧度的换算思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？010.01745180radrad000180157.305718rad)(2360rad)(180rad5、弧度制1、1弧度的角3、换算公式2、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？RlRllRlRRS21212扇形radrad01745.01801'185730.571rad演示6、弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。用弧度制表示角时，不能与角度制混用。思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？度00300450600900120013501500180027003600弧度06432324365232思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角为α（）那么扇形的面积如何计算？02ap2211222lSlRRaa===思考6：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？终边在坐标轴上的角如何表示？)(2Zkk终边x轴上：终边y轴上：)(Zkk)(2Zkk知识迁移例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.例２将３．１４rad换算成角度（用度数表示，精确到０．００１）．例2(1)已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm，求扇